Considere a série sumn=0^infty an x^n em que a0=3, a1=-2 e an+2=an para todo n >= 0
Determine o raio de convergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma série do tipo sumn=0^infty an x^n onde os coeficientes seguem uma regra específica: a0=3, a1=-2 e, para todo n >= 0, an+2=an. Nosso objetivo aqui é descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como determinar onde elas convergem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os coeficientes dessa série. Sabemos que a0=3 e a1=-2. A regra de recorrência an+2=an significa que os coeficientes se repetem a cada dois termos. Então, podemos listar alguns coeficientes para visualizar isso:
  • a0 = 3
  • a1 = -2
  • a2 = a0 = 3
  • a3 = a1 = -2
  • a4 = a2 = 3
  • a5 = a3 = -2
  • E assim por diante…
Assim, a série fica: 3 - 2x + 3x^2 - 2x^3 + 3x^4 - 2x^5 + dots

Passo 3

Agora, vamos falar sobre raio de convergência. O raio de convergência determina para quais valores de x a série converge. Uma ferramenta comum para encontrar esse raio é o Teste da Raiz de Cauchy-Hadamard, que nos diz que:
R = 1limsupntoinfty raiz[n]|an|
Onde R é o raio de convergência e limsup representa o limite superior.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste à nossa série. Observando os coeficientes:
  • Para n par, an = 3
  • Para n ímpar, an = -2
Então, o valor absoluto dos coeficientes é sempre 3 ou 2. Vamos calcular o limite superior:
limsupntoinfty raiz[n]|an| = limsupntoinfty raiz[n]3 ou 2
Sabemos que raiz[n]3 e raiz[n]2 tendem a 1 conforme n cresce, porque qualquer número positivo elevado a 1/n tende a 1 quando n vai para o infinito.

Passo 5

Então, temos:
limsupntoinfty raiz[n]|an| = 1
Substituindo na fórmula do raio de convergência:
R = 11 = 1

Resposta

O raio de convergência da série é R = 1.

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