Considere a série
em que
e
para todo
Determine o raio de convergência da série.
Determine o raio de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série do tipo
onde os coeficientes seguem uma regra específica:
,
e, para todo
,
. Nosso objetivo aqui é descobrir o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências e como determinar onde elas convergem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os coeficientes dessa série. Sabemos que
e
. A regra de recorrência
significa que os coeficientes se repetem a cada dois termos. Então, podemos listar alguns coeficientes para visualizar isso:
-
-
-
-
-
-
- E assim por diante…
Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre raio de convergência. O raio de convergência determina para quais valores de
a série converge. Uma ferramenta comum para encontrar esse raio é o Teste da Raiz de Cauchy-Hadamard, que nos diz que:
Onde
é o raio de convergência e
representa o limite superior.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste à nossa série. Observando os coeficientes:
- Para
par, - Para
ímpar,
Então, o valor absoluto dos coeficientes é sempre 3 ou 2. Vamos calcular o limite superior:
Sabemos que
e
tendem a 1 conforme
cresce, porque qualquer número positivo elevado a
tende a 1 quando
vai para o infinito.
Passo 5
Então, temos:
Substituindo na fórmula do raio de convergência:
Resposta
O raio de convergência da série é
.