1. Verifique que as séries abaixo atendem às condições do Critério de Leibniz e conclua que elas são convergentes:
    (a) sumn=1^infty (-1)^nn^2+7

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série sumn=1^infty (-1)^nn^2+7 satisfaz as hipóteses do Critério de Leibniz (série alternada com termos positivos, decrescentes e cujo limite é zero) e, assim, concluir que ela converge.

Passo 2

Definimos bn = 1n^2+7. Primeiro, calculamos o limite de bn:
limntoinfty bn = limntoinfty 1n^2+7 = 0

Passo 3

Agora, mostramos que (bn) é decrescente. Note que para todo n>=1
n^2 + 7 < (n+1)^2 + 7 implies 1n^2+7 > 1(n+1)^2+7
portanto bn > bn+1.

Passo 4

Como temos uma série alternada de termos bn>=0, com bn+1<= bn e lim bn = 0, pelo Critério de Leibniz a série
sumn=1^infty (-1)^nn^2+7
converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^nn^2+7 converge pelo Critério de Leibniz.

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