- Determine a soma de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa soma infinita:
. A gente vai usar conceitos de séries infinitas e funções exponenciais. Pra isso, precisamos entender o que é uma série e como a função exponencial se relaciona com ela.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. A soma pode ser reescrita como:
Aqui, tiramos o 1/3 da soma para facilitar.
Passo 3
Agora, precisamos lembrar que a série
é a expansão em série de Taylor da função
. Ou seja:
Mas a gente tem a soma começando de
, então vamos ajustar isso.
Passo 4
Se a soma começasse de
, teríamos:
Como a nossa soma começa de
, precisamos subtrair o termo quando
:
Passo 5
Agora, voltando à nossa expressão inicial:
Isso nos dá a soma desejada.
Resposta
A soma
é igual a
.