1. Determine a soma de sumn=1^infty (-1)^n3n!.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa soma infinita: . A gente vai usar conceitos de séries infinitas e funções exponenciais. Pra isso, precisamos entender o que é uma série e como a função exponencial se relaciona com ela.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. A soma pode ser reescrita como:
sumn=1^infty (-1)^n3n! = 13 sumn=1^infty (-1)^nn!
Aqui, tiramos o 1/3 da soma para facilitar.

Passo 3

Agora, precisamos lembrar que a série sumn=0^infty (-1)^nn! = e^-1 é a expansão em série de Taylor da função . Ou seja:
Mas a gente tem a soma começando de , então vamos ajustar isso.

Passo 4

Se a soma começasse de sumn=0^infty (-1)^nn! = e^-1 , teríamos:
sumn=1^infty (-1)^nn! = e^-1 - (-1)^00! = e^-1 - 1
Como a nossa soma começa de , precisamos subtrair o termo quando :

Passo 5

Agora, voltando à nossa expressão inicial:
13 sumn=1^infty (-1)^nn! = 13 (e^-1 - 1)
Isso nos dá a soma desejada.

Resposta

A soma é igual a .

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