Resolva as equações diferenciais
b) y^prime prime-y^prime-2 y=7 e^-x ; y(0)=0, y^prime(0)=2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = 7 e^{-x} $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 2 $. Aqui estamos lidando com Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ - y’ - 2y = 0 $. Para isso, usamos a equação característica, que ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A equação característica é:
y'' - y' - 2y = 0
Resolvendo essa equação quadrática:
r^2 - r - 2 = 0
Assim, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $.

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
yh(x) = C1 e^2x + C2 e^-x
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’ - y’ - 2y = 7 e^{-x} $. Observando que o termo não homogêneo é $ 7 e^{-x} $ e que $ e^{-x} $ já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
yp(x)
Calculando as derivadas:
y'' - y' - 2y = 7 e^-x
7 e^-x
Substituindo na equação diferencial:
e^-x
Simplificando:
yp(x) = A x e^-x
Portanto:
yp' = A e^-x - A x e^-x
Logo, a solução particular é:
yp'' = -2A e^-x + A x e^-x

Passo 4

A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^2x + C2 e^-x - 73 x e^-x
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ x = 0 $, temos $ y(0) = 0 $:
C1
C2
Calculamos a derivada de $ y(x) $:
x = 0
Aplicando $ x = 0 $ e $ y’(0) = 2 $:
y(0) = 0
Substituindo $ C_2 = -C_1 $:
0 = C1 + C2
C2 = -C1
y(x)
y'(x) = 2 C1 e^2x - C2 e^-x - 73 e^-x + 73 x e^-x

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(x) = 139 e^2x - 139 e^-x - 73 x e^-x

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