Resolva as equações diferenciais
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial $ y’’ - y’ - 2y = 7 e^{-x} $ com as condições iniciais $ y(0) = 0 $ e $ y’(0) = 2 $. Aqui estamos lidando com Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes e um termo não homogêneo. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: $ y’’ - y’ - 2y = 0 $. Para isso, usamos a equação característica, que ajuda a encontrar soluções para equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. A equação característica é:
Resolvendo essa equação quadrática:
Assim, as raízes são $ r_1 = 2 $ e $ r_2 = -1 $.
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Agora, precisamos encontrar uma solução particular $ y_p(x) $ para a equação completa $ y’’ - y’ - 2y = 7 e^{-x} $. Observando que o termo não homogêneo é $ 7 e^{-x} $ e que $ e^{-x} $ já está presente na solução homogênea, vamos tentar uma solução particular da forma:
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação diferencial:
Simplificando:
Portanto:
Logo, a solução particular é:
Passo 4
A solução geral da equação completa é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Agora, aplicamos as condições iniciais para encontrar $ C_1 $ e $ C_2 $.
Para $ x = 0 $, temos $ y(0) = 0 $:
Calculamos a derivada de $ y(x) $:
Aplicando $ x = 0 $ e $ y’(0) = 2 $:
Substituindo $ C_2 = -C_1 $:
Resposta
A solução da equação diferencial é: