1. Considere a série sumn=1^infty b^ln (n). Usando o teste integral, o que você conclui sobre a convergência da série? Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste integral na série
sumn=1^infty b^ln(n).
O conteúdo é séries numéricas e teste integral. Para aplicar, interpretamos b^ln(n) como uma função f(x) contínua e decrescente em [1,infty) e comparamos a série com
integral1^inftyf(x),dx

Passo 2

Reescrevemos o termo geral usando propriedades de logaritmos:
b^ln(n) = e^ln(b),ln(n) = n^ln(b)
Logo a série fica
sumn=1^inftyn^ln(b)

Passo 3

Definimos
f(x)=x^ln(b), x>=1
Essa função é contínua em [1,infty). Além disso, para aplicar o teste integral precisamos de decrescimento assintótico:
  • Se ln(b)<0 (isto é, 0<b<1), então f(x) é decrescente e podemos usar o teste integral.
  • Se ln(b)>=0 (isto é, b>=1), então n^ln(b) não tende a zero ou tende a valor não nulo, logo a série diverge pelo teste da divergência.

Passo 4

Calculamos o integral
integral1^inftyx^ln(b),dx
Seja a=ln(b). Para aneq-1,
integral1^inftyx^a,dx =[x^,a+1a+1]1^infty
Esse integral converge se, e somente se, a+1<0, ou seja,
ln(b)+1<0.

Passo 5

A condição ln(b)+1<0 equivale a ln(b)<-1, isto é,
b<e^-1
Portanto:
  • Se 0<b<e^-1, o integral converge e, pelo teste integral, a série também converge.
  • Se b>= e^-1, o integral diverge (ou mesmo o termo geral não tende a zero quando b>=1), logo a série diverge.

Resposta

A série sumn=1^inftyb^ln(n) converge se, e somente se,
0<b<e^-1,
e diverge para b>= e^-1.

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