- Considere a série
. Usando o teste integral, o que você conclui sobre a convergência da série? Justifique.
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste integral na série
.
O conteúdo é séries numéricas e teste integral. Para aplicar, interpretamos como uma função
contínua e decrescente em
e comparamos a série com
O conteúdo é séries numéricas e teste integral. Para aplicar, interpretamos
Passo 2
Reescrevemos o termo geral usando propriedades de logaritmos:
Logo a série fica
Passo 3
Definimos
Essa função é contínua em
. Além disso, para aplicar o teste integral precisamos de decrescimento assintótico:
- Se
(isto é, ), então é decrescente e podemos usar o teste integral. - Se
(isto é, ), então não tende a zero ou tende a valor não nulo, logo a série diverge pelo teste da divergência.
Passo 4
Calculamos o integral
Seja
. Para
,
Esse integral converge se, e somente se,
, ou seja,
.
Passo 5
A condição
equivale a
, isto é,
Portanto:
- Se
, o integral converge e, pelo teste integral, a série também converge. - Se
, o integral diverge (ou mesmo o termo geral não tende a zero quando ), logo a série diverge.
Resposta
A série
converge se, e somente se,
e diverge para
.