Exercício 2.3.2. Considere a função f(x, y)=3 x^2-y^2.
a) Determine as intersecções de f(x, y) com os eixos coordenados.
b) Descreva os traços horizontais e verticais de f(x, y).
c) Exiba um mapa de contornos para f(x, y), isto é, um conjunto de curvas de nível de f(x, y) com valores igualmente espaçados de k.
d) Discuta o espaçamento das curvas de nível.

Passo 1

O enunciado define a superfície
f(x,y)=3x^2 - y^2
e pede quatro coisas: (a) onde o gráfico de f intersecta os eixos coordenados em R^3; (b) quais são os traços horizontais ( y=const) e verticais ( x=const); (c) desenhar o mapa de contornos, isto é, as curvas de nível
3x^2 - y^2 = k
para valores de k igualmente espaçados; (d) comentar como varia o espaçamento entre essas curvas. Para isso vamos usar definição de interseção com eixos, conceito de traço (seccão) e propriedades de curvas de nível e gradiente.

Passo 2

Interseções com os eixos coordenados em R^3:
– Eixo x: pontos (x,0,0) tais que
f(x,0)=3x^2=0Longrightarrow x=0
– Eixo y: pontos (0,y,0) tais que
f(0,y)=-y^2=0Longrightarrow y=0
– Eixo z: pontos (0,0,z) no gráfico exigem
z=f(0,0)=0
Portanto, todas as três interseções ocorrem apenas em (0,0,0).

Passo 3

Traços horizontais e verticais:
– Traço horizontal em y=k fixa y=k e obtém a curva em xz:
z = f(x,k)=3x^2 - k^2
Isto é uma parábola em x que abre para cima, com vértice em (0,,-k^2).
– Traço vertical em x=h fixa x=h e obtém a curva em yz:
z = f(h,y)=3h^2 - y^2
É uma parábola em y que abre para baixo, com vértice em (h,;0,;3h^2).

Passo 4

Mapa de contornos:
As curvas de nível são dadas por
3x^2 - y^2 = k,
com k igualmente espaçados, por exemplo k=-2,-1,0,1,2.
– Para k>0 temos hipérboles que abrem ao longo do eixo x.
– Para k=0 a curva degenerada são as retas y=pmraiz3,x.
– Para k<0 as hipérboles abrem ao longo do eixo y.
Assim, o contorno consiste em famílias de hipérboles simétricas em torno da origem, separadas por valores constantes de k.

Passo 5

Espaçamento das curvas de nível:
O espaçamento está relacionado à rapidez com que f varia, medida por |nabla f|.
nabla f=(6x,,-2y), |nabla f|=2raiz9x^2+y^2
Perto da origem |nabla f| é pequeno, então f varia devagar e os contornos estão mais afastados. Conforme nos afastamos da origem, |nabla f| cresce e f muda mais rápido, fazendo os contornos ficarem mais próximos. Em outras palavras, para valores grandes de |k| as hipérboles correspondentes estão mais juntas.

Resposta

a) O gráfico intersecta todos os eixos apenas em (0,0,0).
b) Traço em y=k: parábola z=3x^2-k^2 (abre para cima). Traço em x=h: parábola z=3h^2-y^2 (abre para baixo).
c) Curvas de nível
3x^2 - y^2 = k,
hipérboles para k>0 (abrem ao longo de x), retas para k=0, hipérboles para k<0 (abrem ao longo de y), tomando k igualmente espaçados.
d) As curvas ficam mais espaçadas perto da origem (onde |nabla f| é menor) e mais juntas à medida que |nabla f| cresce, isto é, para valores maiores de |k|.

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