Exercício 2.3.2. Considere a função
.
a) Determine as intersecções de
com os eixos coordenados.
b) Descreva os traços horizontais e verticais de
.
c) Exiba um mapa de contornos para
, isto é, um conjunto de curvas de nível de
com valores igualmente espaçados de
.
d) Discuta o espaçamento das curvas de nível.
a) Determine as intersecções de
b) Descreva os traços horizontais e verticais de
c) Exiba um mapa de contornos para
d) Discuta o espaçamento das curvas de nível.
Passo 1
O enunciado define a superfície
e pede quatro coisas: (a) onde o gráfico de
intersecta os eixos coordenados em
; (b) quais são os traços horizontais (
) e verticais (
); (c) desenhar o mapa de contornos, isto é, as curvas de nível
para valores de
igualmente espaçados; (d) comentar como varia o espaçamento entre essas curvas. Para isso vamos usar definição de interseção com eixos, conceito de traço (seccão) e propriedades de curvas de nível e gradiente.
Passo 2
Interseções com os eixos coordenados em
:
– Eixo
: pontos
tais que
– Eixo
: pontos
tais que
– Eixo
: pontos
no gráfico exigem
Portanto, todas as três interseções ocorrem apenas em
.
Passo 3
Traços horizontais e verticais:
– Traço horizontal em
fixa
e obtém a curva em
:
Isto é uma parábola em
que abre para cima, com vértice em
.
– Traço vertical em
fixa
e obtém a curva em
:
É uma parábola em
que abre para baixo, com vértice em
.
Passo 4
Mapa de contornos:
As curvas de nível são dadas por
com
igualmente espaçados, por exemplo
.
– Para temos hipérboles que abrem ao longo do eixo
.
– Para a curva degenerada são as retas
.
– Para as hipérboles abrem ao longo do eixo
.
– Para
– Para
– Para
Assim, o contorno consiste em famílias de hipérboles simétricas em torno da origem, separadas por valores constantes de
.
Passo 5
Espaçamento das curvas de nível:
O espaçamento está relacionado à rapidez com que
varia, medida por
.
Perto da origem
é pequeno, então
varia devagar e os contornos estão mais afastados. Conforme nos afastamos da origem,
cresce e
muda mais rápido, fazendo os contornos ficarem mais próximos. Em outras palavras, para valores grandes de
as hipérboles correspondentes estão mais juntas.
Resposta
a) O gráfico intersecta todos os eixos apenas em
.
b) Traço em : parábola
(abre para cima). Traço em
: parábola
(abre para baixo).
c) Curvas de nível
b) Traço em
c) Curvas de nível
hipérboles para
(abrem ao longo de
), retas para
, hipérboles para
(abrem ao longo de
), tomando
igualmente espaçados.
d) As curvas ficam mais espaçadas perto da origem (onde é menor) e mais juntas à medida que
cresce, isto é, para valores maiores de
.
d) As curvas ficam mais espaçadas perto da origem (onde