Considere a série sumn=1^+infty 5^n(a+1)^n (onde a é um parâmetro real, com a neq-1 ).
Para um dos valores encontrados na alínea anterior, determine a soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a série infinita . Isso envolve estudar séries geométricas, que é um tópico de Matemática. Para resolver, vamos precisar entender quando uma série geométrica converge e, depois, calcular a soma dessa série para um valor específico de .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma maneira mais familiar. Observamos que sumn=1^+infty (5a+1)^n . Então, a série fica:
Isso é uma série geométrica, que tem a forma geral , onde é a razão.

Passo 3

Para uma série geométrica | 5a+1 | < 1 convergir, é necessário que o valor absoluto da razão seja menor que 1, ou seja, . No nosso caso, , então a condição para convergência é:

Passo 4

Vamos resolver a desigualdade -1 < 5a+1 < 1 :
Isso significa que:
5 < a + 1 Rightarrow a > 4
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeiro, - (a + 1) < 5 Rightarrow -a -1 < 5 Rightarrow -a < 6 Rightarrow a > -6 :
Multiplicando ambos os lados por -6 < a < 4 (supondo que ):
Segundo, :
Multiplicando ambos os lados por (considerando ):
Então, combinando as duas condições:
Mas lembrando que , conforme o enunciado.

Passo 5

Agora que sabemos que a série converge para , vamos escolher um valor de dentro desse intervalo para calcular a soma. Vamos escolher, por exemplo, .

Passo 6

Substituindo r = 51 + 1 = 52 na expressão r = 54 + 1 = 55 = 1 :
r = 52 + 1 = 53 approx 1,666
Mas, esperem! r = 55 + 1 = 56 approx 0,833 , que é maior que 1. Isso significa que a série não converge para . Vamos escolher outro valor dentro do intervalo .
Vamos tentar :
Ainda não é válido, já que precisa ser menor que 1. Vamos escolher , mas está fora do intervalo. Parece que houve uma confusão. Vamos escolher :
Ainda maior que 1. Vamos escolher :
Agora sim, , então a série converge.

Passo 7

Com S = r1 - r , a razão é S = 561 - 56 = 5616 = 5 . A fórmula para a soma de uma série geométrica que começa no n=1 é:
Substituindo :

Resposta

A soma da série para é 5.

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