Estude a natureza das séries numéricas
, sabendo que as sucessões
são tais que
Passo 1
O enunciado pede para estudar a natureza das séries
e
, sabendo que
, que para
vale
e que
para
. O conteúdo envolve séries numéricas, especialmente séries geométricas, o teste do termo geral e o teste de comparação.
Passo 2
Vamos primeiro analisar
. Podemos separar em duas partes: a soma finita até
, que é 15, e a soma da cauda a partir de
. Para
temos
, ou seja, é uma série geométrica com razão
.
Passo 3
Uma série geométrica converge somente se
. Aqui
, portanto a parte infinita não converge. Além disso, como
, o teste do termo geral já garante que
diverge.
Passo 4
Para
, como
para todo
e já vimos que
diverge, podemos usar o teste de comparação: se a série de termos menores diverge, a de termos maiores também diverge. Além disso, como
não tende a zero,
também não tende a zero, reforçando que
diverge.
Resposta
Ambas as séries divergem.