Estude a natureza das séries numéricas sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn, sabendo que as sucessões (an)n e(bn)n são tais que
sumn=1^8 an=15, an=(32)^n, para n >= 9 e bn>an, para n>20

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza das séries sumn=1^inftyan e sumn=1^inftybn, sabendo que sumn=1^8an=15, que para n>=9 vale an=(tfrac32)^n e que bn>an para n>20. O conteúdo envolve séries numéricas, especialmente séries geométricas, o teste do termo geral e o teste de comparação.

Passo 2

Vamos primeiro analisar sumn=1^inftyan. Podemos separar em duas partes: a soma finita até n=8, que é 15, e a soma da cauda a partir de n=9. Para n>=9 temos an=(tfrac32)^n, ou seja, é uma série geométrica com razão r=tfrac32.

Passo 3

Uma série geométrica converge somente se |r|<1. Aqui r=tfrac32>1, portanto a parte infinita não converge. Além disso, como limntoinftyan=limntoinfty(tfrac32)^n=inftyneq0, o teste do termo geral já garante que sum an diverge.

Passo 4

Para sumn=1^inftybn, como bn>an para todo n>20 e já vimos que sum an diverge, podemos usar o teste de comparação: se a série de termos menores diverge, a de termos maiores também diverge. Além disso, como an não tende a zero, bn também não tende a zero, reforçando que sum bn diverge.

Resposta

Ambas as séries divergem.

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