Considere a série
para resolver os itens abaixo.
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite da soma parcial da série
quando
vai para o infinito. Isso envolve entender séries infinitas, especialmente séries geométricas e séries que têm termos com
multiplicando uma razão. Vamos precisar dividir a série em partes mais simples para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar a conta:
Passo 3
Vamos resolver a primeira soma:
. Essa é uma série geométrica, onde cada termo é
vezes o termo anterior. A soma de uma série geométrica infinita onde a razão
está entre -1 e 1 é dada por:
No nosso caso,
e
. Então,
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda soma:
. Essa soma é um pouco mais complicada, mas sabemos que:
Portanto,
Passo 5
Agora, juntando as duas partes que calculamos:
Resposta
O limite
é
.