Considere a série sumn=1^+infty 1-n2^n+1 para resolver os itens abaixo.
Calcule lim n infty Sn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular o limite da soma parcial da série sumn=1^+infty 1 - n2^n+1 quando n vai para o infinito. Isso envolve entender séries infinitas, especialmente séries geométricas e séries que têm termos com n multiplicando uma razão. Vamos precisar dividir a série em partes mais simples para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a série original em duas partes para facilitar a conta:
sumn=1^+infty 1 - n2^n+1 = sumn=1^+infty 12^n+1 - sumn=1^+infty n2^n+1

Passo 3

Vamos resolver a primeira soma: sumn=1^+infty 12^n+1. Essa é uma série geométrica, onde cada termo é 12 vezes o termo anterior. A soma de uma série geométrica infinita onde a razão r está entre -1 e 1 é dada por:
sumn=1^+infty ar^n-1 = a1 - r
No nosso caso, a = 12^2 = 14 e r = 12. Então,
sumn=1^+infty 12^n+1 = 141 - 12 = 1412 = 12

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda soma: sumn=1^+infty n2^n+1. Essa soma é um pouco mais complicada, mas sabemos que:
sumn=1^+infty n2^n = 2
Portanto,
sumn=1^+infty n2^n+1 = 12 sumn=1^+infty n2^n = 12 times 2 = 1

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que calculamos:
sumn=1^+infty 1 - n2^n+1 = 12 - 1 = -12

Resposta

O limite lim n infty Sn é - 12.

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