Considere a série sumn=1^+infty 1-n2^n+1 para resolver os itens abaixo.
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais Sn.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma fórmula para a sequência das somas parciais da série . A matéria aqui envolve séries infinitas e somas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos de uma série e manipular fórmulas de progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma parcial Sn = sumk=1^n 1 - k2^k+1 da série até o termo Sn = sumk=1^n 12^k+1 - sumk=1^n k2^k+1 :
Podemos separar essa soma em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas separadamente.

Passo 3

Vamos resolver a primeira soma:
sumk=1^n 12^k+1 = 12 sumk=1^n (12)^k
Essa é uma progressão geométrica com razão sumk=1^n r^k = r 1 - r^n1 - r . A soma de uma PG é dada por:
sumk=1^n (12)^k = 12 1 - (12)^n1 - 12 = 1 - (12)^n
Substituindo sumk=1^n 12^k+1 = 12 (1 - (12)^n) = 12 - 12^n+1 :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda soma:
sumk=1^n k2^k+1 = 12 sumk=1^n k2^k
Para essa soma, usamos a fórmula da soma de uma série aritmética geométrica:
sumk=1^n k r^k = r(1 - (n+1)r^n + n r^n+1)(1 - r)^2
Substituindo sumk=1^n k (12)^k = 12 (1 - (n+1)(12)^n + n (12)^n+1)(1 - 12)^2 = 2 (1 - (n+1)(12)^n + n (12)^n+1) :
sumk=1^n k2^k+1 = 12 times 2 (1 - (n+1)(12)^n + n (12)^n+1) = 1 - (n+1)(12)^n + n (12)^n+1
Portanto:

Passo 5

Agora, juntamos as duas somas que resolvemos:
Sn = (12 - 12^n+1) - (1 - (n+1)(12)^n + n (12)^n+1)
Vamos simplificar:
Sn = 12 - 12^n+1 - 1 + (n+1)(12)^n - n (12)^n+1
Sn = -12 - 12^n+1 + (n+1)(12)^n - n (12)^n+1
Podemos fatorar Sn = -12 + (12)^n ( (n+1) - 12 ) - 12^n+1 :
Sn = -12 + (12)^n (n + 12) - 12^n+1
Simplificando:

Resposta

A fórmula para a sequência das somas parciais é:
Sn = -12 + (n + 12) (12)^n - 12^n+1

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