Considere a série
para resolver os itens abaixo.
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
.
© Ache uma fórmula para a sequência das somas parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar uma fórmula para a sequência das somas parciais
da série
. A matéria aqui envolve séries infinitas e somas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar termos de uma série e manipular fórmulas de progressões geométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma parcial
da série até o termo
:
Podemos separar essa soma em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada uma dessas somas separadamente.
Passo 3
Vamos resolver a primeira soma:
Essa é uma progressão geométrica com razão
. A soma de uma PG é dada por:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda soma:
Para essa soma, usamos a fórmula da soma de uma série aritmética geométrica:
Substituindo
:
Portanto:
Passo 5
Agora, juntamos as duas somas que resolvemos:
Vamos simplificar:
Podemos fatorar
:
Simplificando:
Resposta
A fórmula para a sequência das somas parciais é: