Problema de Fluxo Máximo de Transporte com Rotas Limitadas
Uma companhia exportadora de café dispõe de estoques em quatro portos brasileiros, conforme tabela abaixo:
PORTO QTD t
Paranaguá 120
Santos 100
Rio de Janeiro 100
Vitória 100
Em virtude dos contratos de fornecimento já assinados, a companhia precisa transferir, dentro de um mês, para seus quatro armazéns no exterior, determinadas quantidades, como mostra a tabela abaixo:
PORTO QTD t
Nova York 100
Hamburgo 80
Le Havre 90
Bordeaux 150
Como informação adicional, sabe-se que as demandas de Hamburgo e Bordeaux devem ser plenamente atendidas.
No próximo mês, as partidas de navios dos diversos portos brasileiros para os portos de destino são indicadas na tabela abaixo, assim como a capacidade de carga ainda disponível em cada navio. A quantidade zero indica que não há navio ou, mesmo havendo, não há capacidade livre para transportar café.
Destino Nova York Hamburgo Le Havre Bordeaux
Paranaguá 70 30 20 0
Santos 50 40 10 0
Rio de Janeiro 0 20 40 80
Vitória 0 20 40 80
Dadas essas informações, o objetivo da companhia é determinar quanto deverá despachar em cada navio, de modo a satisfazer suas demandas ao máximo. Construa o modelo de Programação Linear que otimize este problema.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão pede. Temos uma empresa que exporta café de quatro portos no Brasil para quatro armazéns no exterior. Cada porto tem uma quantidade limitada de café para enviar, e cada destino tem uma demanda específica que precisa ser atendida. Além disso, cada rota entre porto e destino tem uma capacidade máxima de carga disponível nos navios. Nosso objetivo aqui é criar um modelo de Programação Linear que ajude a determinar quanto café deve ser enviado por cada rota para maximizar o atendimento das demandas, respeitando as capacidades dos navios e os estoques disponíveis nos portos. Para isso, vamos precisar usar conceitos de otimização e modelagem matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas variáveis de decisão. Essas variáveis representarão a quantidade de café transportada de cada porto para cada destino. Vamos usar a notação , onde representa o porto de origem e o destino. Por exemplo, será a quantidade de café enviada de Paranaguá para Nova York.

Passo 3

Agora, vamos definir nossa função objetivo. Queremos maximizar a quantidade total de café transportada para os destinos, respeitando as restrições de demanda e capacidade. Então, nossa função objetivo será a soma de todas as variáveis de decisão:

Passo 4

Vamos agora estabelecer as restrições de capacidade dos navios em cada rota. Cada rota entre porto e destino tem uma capacidade máxima que não pode ser ultrapassada. Por exemplo, de Paranaguá para Nova York, a capacidade é de 70 toneladas, então:
Replicando isso para todas as rotas, temos:

Passo 5

Em seguida, vamos garantir que a quantidade enviada de cada porto não exceda o estoque disponível. Por exemplo, de Paranaguá, o total enviado para todos os destinos não pode passar de 120 toneladas:
Fazendo o mesmo para os outros portos:

Passo 6

Agora, vamos definir as restrições de demanda. Sabemos que as demandas de Hamburgo e Bordeaux devem ser completamente atendidas. Isso significa que a soma de todo o café enviado para Hamburgo deve ser exatamente 80 toneladas e para Bordeaux exatamente 150 toneladas:
Para Nova York e Le Havre, assumimos que as demandas são de 100 e 90 toneladas, respectivamente, mas não necessariamente precisa ser completamente atendidas:

Passo 7

Por fim, todas as variáveis de decisão precisam ser não negativas, pois não faz sentido transportar uma quantidade negativa de café:

Resposta

O modelo de Programação Linear para otimizar o transporte de café é o seguinte:
Esse modelo considera todas as restrições de capacidade de navio, estoques dos portos e demandas dos destinos, garantindo que as demandas de Hamburgo e Bordeaux sejam totalmente atendidas e que as demais sejam satisfeitas ao máximo possível.

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