Considere a série
para resolver os itens abaixo.
A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma série infinita:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se ela chega a um valor finito quando somamos infinitos termos. Se sim, vamos calcular qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série:
. Podemos reescrever essa expressão para facilitar a análise. Observe que:
Então, a série original pode ser dividida em duas séries separadas:
Passo 3
Vamos analisar cada uma dessas séries individualmente. A primeira série é uma progressão geométrica:
Sabemos que uma série geométrica
converge quando
e sua soma é
. Aqui,
e
, então essa série converge e a soma é:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda série:
. Essa é uma série que envolve termos lineares multiplicados por uma razão geométrica. Para resolver isso, podemos usar uma técnica conhecida envolvendo derivadas de séries geométricas.
Sabemos que:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, substituímos
por
:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos as somas das duas séries separadas, podemos voltar à série original:
Resposta
A série converge e a sua soma é igual a
.