Considere a série sumn=1^+infty 1-n2^n+1 para resolver os itens abaixo.
A série converge? Justifique. Caso afirmativo, qual é a sua soma?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre uma série infinita: sumn=1^+infty 1-n2^n+1. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge, ou seja, se ela chega a um valor finito quando somamos infinitos termos. Se sim, vamos calcular qual é essa soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série: sumn=1^+infty 1-n2^n+1. Podemos reescrever essa expressão para facilitar a análise. Observe que:
1 - n2^n+1 = 12^n+1 - n2^n+1
Então, a série original pode ser dividida em duas séries separadas:
sumn=1^+infty 12^n+1 e sumn=1^+infty n2^n+1

Passo 3

Vamos analisar cada uma dessas séries individualmente. A primeira série é uma progressão geométrica:
sumn=1^+infty 12^n+1 = 12 sumn=1^+infty (12)^n
Sabemos que uma série geométrica sumn=0^+infty ar^n converge quando |r| < 1 e sua soma é a1 - r. Aqui, a = 12 e r = 12, então essa série converge e a soma é:
121 - 12 = 1

Passo 4

Agora, vamos para a segunda série: sumn=1^+infty n2^n+1. Essa é uma série que envolve termos lineares multiplicados por uma razão geométrica. Para resolver isso, podemos usar uma técnica conhecida envolvendo derivadas de séries geométricas.
Sabemos que:
sumn=0^+infty x^n = 11 - x para |x| < 1
Derivando ambos os lados em relação a x:
sumn=1^+infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2
Multiplicando ambos os lados por x:
sumn=1^+infty n x^n = x(1 - x)^2
Agora, substituímos x por 12:
sumn=1^+infty n (12)^n = 12(1 - 12)^2 = 12(12)^2 = 2
Portanto:
sumn=1^+infty n2^n+1 = 12 times 2 = 1

Passo 5

Agora que temos as somas das duas séries separadas, podemos voltar à série original:
sumn=1^+infty 1 - n2^n+1 = sumn=1^+infty 12^n+1 - sumn=1^+infty n2^n+1 = 1 - 1 = 0

Resposta

A série converge e a sua soma é igual a 0.

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