Justifique as seguintes igualdades:
(b) sumn=1^+infty 2 n+1n^2(n+1)^2=1

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. A questão pede para justificar que a soma infinita é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e frações parciais, que ajudam a simplificar expressões complicadas e a somar termos de forma mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na expressão dentro da soma: . Para facilitar a soma, vamos tentar quebrar essa fração em partes menores usando frações parciais. Isso significa que queremos escrever a fração original como a soma de frações mais simples que são mais fáceis de somar.

Passo 3

Para fazer isso, assumimos que:
2n + 1n^2(n+1)^2 = An + Bn^2 + Cn+1 + D(n+1)^2
Nosso objetivo é encontrar os valores de 2n + 1 = A n (n+1)^2 + B (n+1)^2 + C n^2(n+1) + D n^2 , , e que tornam essa igualdade verdadeira. Para isso, multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Agora, vamos expandir e simplificar o lado direito da equação:
2n + 1 = A n (n^2 + 2n + 1) + B (n^2 + 2n + 1) + C n^2(n+1) + D n^2
2n + 1 = A n^3 + 2A n^2 + A n + B n^2 + 2B n + B + C n^3 + C n^2 + D n^2
Agrupando os termos semelhantes:
2n + 1 = (A + C) n^3 + (2A + B + C + D) n^2 + (A + 2B) n + B

Passo 5

Para que a igualdade seja válida para todo valor de A + C = 0 2A + B + C + D = 0 A + 2B = 2 B = 1 , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais em ambos os lados da equação. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
  1. De
  2. Substituindo em :
  3. De :
  4. Substituindo , , e na segunda equação:

Passo 6

Com os valores encontrados, podemos reescrever a fração original:
2n + 1n^2(n+1)^2 = 0n + 1n^2 + 0n+1 + -1(n+1)^2 = 1n^2 - 1(n+1)^2

Passo 7

Agora, substituímos de volta na soma infinita:
sumn=1^+infty ( 1n^2 - 1(n+1)^2 )
Essa é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam quando somamos os primeiros termos. Vamos ver como isso funciona.

Passo 8

Escrevendo os primeiros termos da série:
( 11^2 - 12^2 ) + ( 12^2 - 13^2 ) + ( 13^2 - 14^2 ) + cdots
Observamos que cancela com , cancela com , e assim por diante. Isso deixa apenas o primeiro termo não cancelado e o último termo que tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 9

Portanto, a soma da série é:
11^2 = 1

Resposta

Assim, justificamos que .

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