Assinale V ou F, justificando suas respostas:
( ) Suponha que an>0, forall n in N e que lim n +infty an=1, então sumn=1^+infty an diverge.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão. A gente tem uma sequência que é sempre positiva e que, quando n cresce para o infinito, o limite de é 1. A pergunta é: a soma infinita desses termos diverge, ou seja, não tem um valor finito? Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries infinitas e o teste da divergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do teste da divergência (ou teste do termo geral). Esse teste diz que se o limite dos termos quando n vai para o infinito não é zero, então a série diverge. Ou seja, ela não soma para um número finito.

Passo 3

No nosso caso, temos que . Isso significa que os termos da sequência não estão se aproximando de zero, mas sim ficando em 1. Segundo o teste da divergência, se os termos não vão para zero, a série não pode convergir.

Passo 4

Aplicando o teste da divergência aqui: já que , concluímos que a série diverge.

Resposta

Verdadeiro. A série diverge porque o limite dos termos não é zero.

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