Verifique se a sequência converge ou diverge e justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificar se a sequência $ a_{n} = \frac{2n^{4} + n}{7n^{3} + n^{2} + 1} $ converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Limites de Sequências, e vamos precisar usar o comportamento de funções polinomiais quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ 2n^{4} $ e, no denominador, é $ 7n^{3} $.
Passo 3
Sabemos que, quando $ n $ fica muito grande, os termos de menor grau ficam irrelevantes, então podemos simplificar a sequência observando apenas os termos de maior grau:
Passo 4
Agora, simplificamos essa fração:
Passo 5
Então, a sequência simplificada é $ a_{n} \approx \frac{2}{7}n $. Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 6
Calculando o limite:
Isso significa que a sequência cresce sem parar.
Resposta
A sequência $ a_{n} = \frac{2n^{4} + n}{7n^{3} + n^{2} + 1} $ diverge, pois seu limite quando $ n $ tende ao infinito é infinito.