Verifique se a sequência converge ou diverge e justifique sua resposta.
an=2 n^4+n7 n^3+n^2+1

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão pede para verificar se a sequência $ a_{n} = \frac{2n^{4} + n}{7n^{3} + n^{2} + 1} $ converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de Limites de Sequências, e vamos precisar usar o comportamento de funções polinomiais quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é $ 2n^{4} $ e, no denominador, é $ 7n^{3} $.

Passo 3

Sabemos que, quando $ n $ fica muito grande, os termos de menor grau ficam irrelevantes, então podemos simplificar a sequência observando apenas os termos de maior grau:
n

Passo 4

Agora, simplificamos essa fração:
2n^47n^3 = 27n^4-3 = 27n

Passo 5

Então, a sequência simplificada é $ a_{n} \approx \frac{2}{7}n $. Agora, vamos analisar o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito.

Passo 6

Calculando o limite:
limn to infty 27n = infty
Isso significa que a sequência cresce sem parar.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \frac{2n^{4} + n}{7n^{3} + n^{2} + 1} $ diverge, pois seu limite quando $ n $ tende ao infinito é infinito.

Exercícios relacionados