© y = arctan(u) => y' = u'/ (1 + u^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é a função . Estamos trabalhando com cálculo, mais precisamente com derivadas. O objetivo é encontrar a derivada dessa função em relação a uma variável, que vou chamar de . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta essencial para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função arctan. A função é o inverso da tangente, ou seja, ela nos dá o ângulo cujo tangente é . Agora, para derivar , precisamos encontrar .

Passo 3

Vamos aplicar a regra da cadeia. A regra da cadeia nos diz que se temos uma função composta, a derivada dela é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. No nosso caso, a função externa é e a função interna é .

Passo 4

Sabemos que a derivada de em relação a é . Isso é uma regra padrão das derivadas trigonométricas. Então, temos:

Passo 5

Agora, precisamos multiplicar essa derivada pela derivada de em relação a , que é ou . Assim, aplicando a regra da cadeia, fica:

Passo 6

Simplificando a expressão, obtemos:

Resposta

A derivada de é:

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