Resolva
d yd t=y^2 t sen ty^2+1, y(0)=1.

Passo 1

Beleza, a gente tem a seguinte equação diferencial:
dydt = y^2 t sin ty^2+1, y(0) = 1
Vamos resolver essa equação usando conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações separáveis. Precisamos separar as variáveis $ y $ e $ t $ e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $. Para isso, reescrevemos a equação da seguinte maneira:
y
Aqui, conseguimos isolar $ dy $ de um lado e $ dt $ do outro.

Passo 3

Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
y^2+1y^2 = 1 + 1y^2
Então, a equação fica:
(1 + 1y^2) dy = t sin t , dt

Passo 4

Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
integral (1 + 1y^2) dy = integral t sin t , dt
A integração separada nos ajuda a resolver cada parte individualmente.

Passo 5

Vamos calcular cada integral:
Do lado esquerdo:
integral 1 , dy + integral 1y^2 , dy = y - 1y + C
Do lado direito, usamos integração por partes. Seja $ u = t $ e $ dv = \sin t , dt $. Então:
u = t

Passo 6

Igualando as duas expressões obtidas:
y - 1y = -t cos t + sin t + C
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $.

Passo 7

Substituindo $ t = 0 $ e $ y = 1 $ na equação:
t = 0
Portanto, a equação simplifica para:
y = 1

Resposta

y - 1y = -t cos t + sin t

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