Resolva
.
Passo 1
Beleza, a gente tem a seguinte equação diferencial:
Vamos resolver essa equação usando conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente sobre equações separáveis. Precisamos separar as variáveis $ y $ e $ t $ e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ t $. Para isso, reescrevemos a equação da seguinte maneira:
Aqui, conseguimos isolar $ dy $ de um lado e $ dt $ do outro.
Passo 3
Agora, vamos simplificar o lado esquerdo da equação:
Então, a equação fica:
Passo 4
Em seguida, integramos ambos os lados da equação:
A integração separada nos ajuda a resolver cada parte individualmente.
Passo 5
Vamos calcular cada integral:
Do lado esquerdo:
Do lado direito, usamos integração por partes. Seja $ u = t $ e $ dv = \sin t , dt $. Então:
Passo 6
Igualando as duas expressões obtidas:
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar a constante $ C $.
Passo 7
Substituindo $ t = 0 $ e $ y = 1 $ na equação:
Portanto, a equação simplifica para: