Considere a série
em que
para todo
.
Determine o raio de convergência da série.
Determine o raio de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio de convergência da série infinita
, onde os coeficientes são
,
e
para todo
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e o teste do raio de convergência, que usa o limite superior dos termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da série. Sabemos que
e
. A partir daí, a relação de recorrência
nos diz que os coeficientes se repetem a cada dois termos. Então, temos:
-
-
-
-
- E assim por diante…
Então, a série fica assim:
Passo 3
Agora, para achar o raio de convergência
, podemos usar o Teste da Raiz. Esse teste diz que:
Mas, como nossos coeficientes estão se repetindo e são limitados (sempre 2 ou 30), o limite superior será o maior valor absoluto dos coeficientes, que aqui é 30.
Então:
Resposta
O raio de convergência da série é
.