Considere a série sumn=0^infty an x^n em que a0=2, a1=-30 an+2=an para todo n >= 0.
Determine o raio de convergência da série.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o raio de convergência da série infinita sumn=0^infty an x^n, onde os coeficientes são a0 = 2, a1 = -30 e an+2 = an para todo n >= 0. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de potências e o teste do raio de convergência, que usa o limite superior dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da série. Sabemos que a0 = 2 e a1 = -30. A partir daí, a relação de recorrência an+2 = an nos diz que os coeficientes se repetem a cada dois termos. Então, temos:
  • a0 = 2
  • a1 = -30
  • a2 = a0 = 2
  • a3 = a1 = -30
  • E assim por diante…
Então, a série fica assim: 2 - 30x + 2x^2 -30x^3 + 2x^4 -30x^5 + dots

Passo 3

Agora, para achar o raio de convergência R, podemos usar o Teste da Raiz. Esse teste diz que:
1R = limsupn to infty raiz[n]|an|
Mas, como nossos coeficientes estão se repetindo e são limitados (sempre 2 ou 30), o limite superior será o maior valor absoluto dos coeficientes, que aqui é 30.
Então:
1R = 30 implies R = 130

Resposta

O raio de convergência da série é R = dfrac130.

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