Encontre a derivada usando a definição
f(t)=3 tt+2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=3tt+2 usando a definição de derivada
f'(t)=limhto0f(t+h)-f(t)h
Vamos montar esse quociente, simplificar e então tomar o limite.

Passo 2

Calculemos primeiro a diferença
f(t+h)-f(t) =3(t+h)t+h+2-3tt+2 =3l[(t+h)(t+2)-t(t+h+2)r](t+h+2)(t+2)

Passo 3

Expandindo os produtos no numerador:
(t+h)(t+2)=t^2+(2+h)t+2h, t(t+h+2)=t^2+ht+2t
Subtraindo-os obtemos
(t+h)(t+2)-t(t+h+2)=2h,
logo
f(t+h)-f(t) =3cdot2h(t+h+2)(t+2) =6h(t+h+2)(t+2)
Dividindo por h:
f(t+h)-f(t)h =6(t+h+2)(t+2)

Passo 4

Tomando hto0 no quociente acima, temos
f'(t) =limhto06(t+h+2)(t+2) =6(t+2)^2

Resposta

f'(t)=6(t+2)^2

Exercícios relacionados