Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série
converge de forma absoluta, condicional ou se diverge. A matéria aqui é sobre convergência de séries, e vamos precisar usar critérios como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, como o
na nossa série. Isso significa que os termos positivos e negativos se alternam conforme
aumenta.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da série:
. Como
fica muito pequeno conforme
cresce,
pode ser aproximado por
(usando a aproximação
para
próximo a zero).
Passo 4
Portanto, o termo geral fica aproximadamente
. Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada: se os termos positivos
são decrescentes e tendem a zero quando
vai ao infinito, a série alternada converge.
Passo 5
Para verificar a convergência absoluta, a gente ignora os sinais alternados e analisa a série
. Isso é uma série p, onde
. Sabemos que uma série p converge se
. Como
, essa série não converge absolutamente.
Resposta
A série
converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.