Decida se as séries abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
sumn=1^infty(-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^2) converge de forma absoluta, condicional ou se diverge. A matéria aqui é sobre convergência de séries, e vamos precisar usar critérios como o Teste da Série Alternada e o Teste da Convergência Absoluta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série alternada. Uma série é alternada quando os termos mudam de sinal, como o (-1)^n+1 na nossa série. Isso significa que os termos positivos e negativos se alternam conforme n aumenta.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da série: raiz[3]sin (1n^2). Como 1n^2 fica muito pequeno conforme n cresce, sin(1n^2) pode ser aproximado por 1n^2 (usando a aproximação sin(x) approx x para x próximo a zero).

Passo 4

Portanto, o termo geral fica aproximadamente raiz[3]1n^2 = 1n^2/3. Agora, vamos aplicar o Teste da Série Alternada: se os termos positivos 1n^2/3 são decrescentes e tendem a zero quando n vai ao infinito, a série alternada converge.

Passo 5

Para verificar a convergência absoluta, a gente ignora os sinais alternados e analisa a série sumn=1^infty 1n^2/3. Isso é uma série p, onde p = 23. Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como 23 < 1, essa série não converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^2) converge condicionalmente pelo Teste da Série Alternada.

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