Considere as séries abaixo
e assinale a alternativa correta.
A. A série (i) converge absolutamente e a série (ii) converge condicionalmente.
B. Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
C. A série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.
D. Ambas as séries convergem condicionalmente.
E. Ambas as séries convergem absolutamente.
A. A série (i) converge absolutamente e a série (ii) converge condicionalmente.
B. Nenhuma das outras afirmações é verdadeira.
C. A série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente.
D. Ambas as séries convergem condicionalmente.
E. Ambas as séries convergem absolutamente.
Passo 1
O enunciado dá duas séries alternantes a partir de k=3: (i) ∑ₖ₌₃⁺ⁿ (–1)ᵏ / [k·ln(k)·ln(ln(k))] e (ii) ∑ₖ₌₃⁺ⁿ (–1)ᵏ / [k·(ln(k))²]. Vamos usar testes de convergência absoluta (teste da integral) e teste de Leibniz para ver se convergem condicionalmente.
Passo 2
Analisando a convergência absoluta da série (i): estudamos ∑ₖ 1/[k·ln(k)·ln(ln(k))]. Aplicando o teste da integral, consideramos a função f(x)=1/[x·ln(x)·ln(ln(x))] para x≥3. Fazendo a troca u=ln(ln(x)), temos du=dx/(x·ln(x)), então
[\int_{3}{\infty}\frac{dx}{x,\ln(x),\ln(\ln(x))}=\int_{\ln(\ln(3))}{\infty}\frac{du}{u},]
que diverge (é ~ ln(u)| → ∞). Logo a série não converge absolutamente. Em seguida, pelo teste de Leibniz, vemos que aₖ=1/[k·ln(k)·ln(ln(k))] é positiva, monótona decrescente (para k grande) e tende a zero, portanto a série alternante converge condicionalmente.
[\int_{3}{\infty}\frac{dx}{x,\ln(x),\ln(\ln(x))}=\int_{\ln(\ln(3))}{\infty}\frac{du}{u},]
que diverge (é ~ ln(u)| → ∞). Logo a série não converge absolutamente. Em seguida, pelo teste de Leibniz, vemos que aₖ=1/[k·ln(k)·ln(ln(k))] é positiva, monótona decrescente (para k grande) e tende a zero, portanto a série alternante converge condicionalmente.
Passo 3
Para a série (ii), olhamos a série de termos absolutos ∑ₖ 1/[k·(ln(k))²]. De novo usamos o teste da integral com g(x)=1/[x·(ln(x))²]. Note que
[\int_{3}{\infty}\frac{dx}{x,(\ln(x))2}=\int_{\ln(3)}{\infty}\frac{du}{u2},]
onde u=ln(x) e du=dx/x. Esse integral converge (é =1/ln(3)). Portanto a série de termos absolutos converge, implicando que a série original converge absolutamente.
[\int_{3}{\infty}\frac{dx}{x,(\ln(x))2}=\int_{\ln(3)}{\infty}\frac{du}{u2},]
onde u=ln(x) e du=dx/x. Esse integral converge (é =1/ln(3)). Portanto a série de termos absolutos converge, implicando que a série original converge absolutamente.
Passo 4
Concluindo, a série (i) converge condicionalmente e a série (ii) converge absolutamente, ou seja, alternativa C.
Resposta
C