Considere as séries abaixo, verifique a convergência:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série
Informações dadas e observações iniciais:
- O termo geral da série é
. - Para
grande o numerador é da ordem de e o denominador da ordem de , logo intuitivamente decai como uma constante vezes . - A série pedida é a soma de termos positivos a partir de
(o denominador vale para , logo não há zero ou sinal trocado nos primeiros termos).
Passo 2
Apresentação da ferramenta que vamos usar e porquê (explicada passo a passo).
- Definição/teorema útil (Teste da comparação limite): sejam duas sequências positivas
e . Se
com
, então as séries
e
convergem ou divergem simultaneamente. Em palavras: se os termos são assintoticamente proporcionais por uma constante positiva, as séries têm o mesmo comportamento de convergência.
- Outra coisa que precisamos lembrar é o critério para séries tipo
-série: a série
converge se, e somente se,
. Este é um resultado padrão muito útil: para
a série converge.
Passo 3
Escolha da comparação e preparação do cálculo do limite.
- Pelo aspecto assintótico do termo
(numerador , denominador ), uma escolha natural para comparação é
pois então esperamos que
seja proporcional a
quando
.
- Vamos calcular o limite
Passo 4
Cálculo explícito do limite, passo a passo (sem pular etapas).
- Escrevemos o produto e fatoramos potências de
. Uma forma sistemática é dividir numerador e denominador por :
- Agora dividindo cada termo por
temos
- Tomando
, os termos que têm , , etc., tendem a zero. Portanto o limite é
- Observação:
é um número finito e estritamente positivo, ou seja .
Passo 5
Aplicação do teste e conclusão do tipo de convergência.
- Pelo teste da comparação limite (Passo 2), como
as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou as duas convergem ou as duas divergem.
- Sabemos que
é uma série -série com , logo converge. - Portanto
também converge. - Como todos os termos
são positivos, essa convergência é de fato convergência absoluta (para séries de termos não-negativos não se faz distinção entre convergência e convergência absoluta).
Resposta
Converge (convergência absoluta).