Considere
.
Calcule:
(a)
(b) o valor crítico
(a)
(b) o valor crítico
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos de dado.
- Temos
. - Pergunta (a): calcular
. - Pergunta (b): encontrar o valor crítico
, isto é o quantil de ordem (o número tal que ).
Informações relevantes que pegamos do enunciado:
-
(graus de liberdade do numerador) e (graus de liberdade do denominador). - Valor numérico pedido em (a):
. - Em (b) queremos o
-quantil da distribuição .
Passo 2
Noções úteis sobre a distribuição
e a fórmula que vamos usar.
- Se
, existe uma relação com a função beta incompleta regularizada: para
onde
é a função beta incompleta regularizada
e
é a função beta (com
a função gama).
-
Neste problema temos
e . Para calcular vamos transformar o problema em calcular com . -
Observação prática que facilita o cálculo: como
é inteiro, o fator pode ser expandido pela fórmula do binômio e a integral pode ser feita termo a termo (cada termo é uma potência simples de , fácil de integrar).
Passo 3
Cálculo de (a):
.
- Primeiro calcule
:
- Assim
- Expandindo
pelo binômio:
Então a integral vira
- Vamos calcular termo a termo (vou mostrar os números para poder fazer na prova à mão com calma):
Para
:
Para
:
multiplicando por
e com sinal
:
.
Para
:
multiplicando por
:
.
Para
:
multiplicando por
e com sinal
:
.
Para
:
Somando os cinco termos obtenho a integral (numerador):
- Agora o denominador
. Use -valores conhecidos:
Logo
- Finalmente
Portanto o valor aproximado é
(ou seja cerca de
).
Passo 4
Cálculo de (b): achar
(o quantil
).
- Pelo mesmo raciocínio com a conversão para Beta, se
é o quantil procurado então o correspondente na Beta é
E
é obtido invertendo:
- Logo não precisamos de uma fórmula nova: basta encontrar
tal que
e então transformar em
por
.
- Usando tabela de quantis da
ou invertendo numericamente , encontra-se que o -quantil corresponde a
(para verificação numérica: calcular
com a mesma técnica de expansão do Passo 3 dá aproximadamente
, isto é muito próximo de
; a pequena diferença vem de arredondamentos nos cálculos manuais).
- Substituindo
em obtemos
Portanto o valor crítico de nível
para
é
.