Teorema 5:

✓ Exemplo: Em um grupo de 200 alunos de Engenharia:
  • 137 alunos obtiveram aprovação em Estatística; 50 alunos em Física; e 124 alunos em Química.
  • 33 alunos foram aprovados em Estatística e Física.
  • 29 alunos foram aprovados em Física e Química.
  • 92 alunos foram aprovados em Estatística e Química.
  • 18 alunos foram aprovados nas 3 disciplinas.
Calcule a probabilidade de um aluno, selecionado aleatoriamente deste grupo de 200 alunos, ter obtido aprovação em pelo menos uma das disciplinas.

Passo 1

O enunciado dá um grupo com 200 alunos e informa quantos foram aprovados em cada disciplina e em interseções. Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece (cada número foi pegado do enunciado):
  • Total de alunos: 200.
  • Número aprovados em Estatística: n(E)=137.
  • Número aprovados em Física: n(F)=50.
  • Número aprovados em Química: n(Q)=124.
  • Número aprovados em Estatística e Física: n(E\cap F)=33.
  • Número aprovados em Física e Química: n(F\cap Q)=29.
  • Número aprovados em Estatística e Química: n(E\cap Q)=92.
  • Número aprovados nas três disciplinas: n(E\cap F\cap Q)=18.
O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que um aluno, escolhido aleatoriamente entre os 200, tenha sido aprovado em pelo menos uma das disciplinas (ou seja, em Estatística, ou Física, ou Química, ou em mais de uma delas).

Passo 2

Defino as notações e o que precisamos encontrar:
  • E = conjunto dos alunos aprovados em Estatística.
  • F = conjunto dos alunos aprovados em Física.
  • Q = conjunto dos alunos aprovados em Química.
  • O evento “aprovado em pelo menos uma disciplina” é E\cup F\cup Q.
  • A quantidade de alunos que passaram em pelo menos uma é n(E\cup F\cup Q).
  • A probabilidade pedida será \dfrac{n(E\cup F\cup Q)}{200}.
Agora precisamos calcular n(E\cup F\cup Q) a partir dos números dados.

Passo 3

Apresento a fórmula que vamos usar — o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos — e explico por que ela funciona.
Fórmula:
n(E\cup F\cup Q)=n(E)+n(F)+n(Q)-n(E\cap F)-n(E\cap Q)-n(F\cap Q)+n(E\cap F\cap Q).
Intuição (explicação passo a passo e por que cada termo aparece):
  • Quando somamos n(E)+n(F)+n(Q) cada aluno que está em duas disciplinas foi contado duas vezes e cada aluno que está nas três foi contado três vezes.
  • Subtraímos n(E\cap F)+n(E\cap Q)+n(F\cap Q) para corrigir as duplas contagens: isso retira uma cópia extra de cada aluno que está em exatamente duas disciplinas. Porém, cada aluno que está nas três disciplinas estava inicialmente contado 3 vezes; ao subtrair os três pares, esse aluno é agora contado 3-3=0 vezes — ou seja, foi retirado completamente, mas deveria ser contado uma vez. Por isso adicionamos de volta n(E\cap F\cap Q) uma vez.
  • Assim obtemos a contagem correta de alunos que estão em pelo menos uma das disciplinas.

Passo 4

Agora aplico a fórmula substituindo os números dados:
Primeiro calcule as somas parciais em etapas claras:
n(E)+n(F)+n(Q)=137+50+124=311.
n(E\cap F)+n(E\cap Q)+n(F\cap Q)=33+92+29=154.
Substituindo na fórmula:
n(E\cup F\cup Q)=311-154+18.
Calculo passo a passo:
311-154=157,
157+18=175.
Portanto a quantidade de alunos aprovados em pelo menos uma disciplina é n(E\cup F\cup Q)=175.

Passo 5

Transformo essa contagem em probabilidade para um aluno escolhido ao acaso:
A probabilidade é
\frac{n(E\cup F\cup Q)}{200}=\frac{175}{200}.
Simplifico a fração:
\frac{175}{200}=\frac{7}{8}.
Converto para decimal e porcentagem (usando vírgula conforme convenção):
\frac{7}{8}=0,875=87{,}5\%.
Como checagem rápida: o número de alunos que não foi aprovado em nenhuma disciplina é 200-175=25, portanto a probabilidade de “nenhuma” é \dfrac{25}{200}=\dfrac{1}{8}, e assim a probabilidade de “pelo menos uma” é 1-\dfrac{1}{8}=\dfrac{7}{8}, consistente com o cálculo anterior.

Passo 6

Dica de prova e checagem rápida (útil para você na hora da avaliação):
  • Sempre verifique se as somas/interseções não geram números negativos ao aplicar a fórmula; se isso ocorrer, é sinal de entrada inconsistente.
  • Verifique a consistência pelo complemento (calcular primeiro quantos não passaram em nenhuma e subtrair de total).
  • Na hora, faça as somas parciais (somas de simples e de pares) antes de substituir na fórmula para evitar erros de pressa. Respire fundo — você já fez o mais difícil: aplicar a ideia certa.

Resposta

\dfrac{7}{8}=0,875=87{,}5\%

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