Teorema 5:
✓ Exemplo: Em um grupo de 200 alunos de Engenharia:
- 137 alunos obtiveram aprovação em Estatística; 50 alunos em Física; e 124 alunos em Química.
- 33 alunos foram aprovados em Estatística e Física.
- 29 alunos foram aprovados em Física e Química.
- 92 alunos foram aprovados em Estatística e Química.
- 18 alunos foram aprovados nas 3 disciplinas.
Calcule a probabilidade de um aluno, selecionado aleatoriamente deste grupo de 200 alunos, ter obtido aprovação em pelo menos uma das disciplinas.
Passo 1
O enunciado dá um grupo com
alunos e informa quantos foram aprovados em cada disciplina e em interseções. Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece (cada número foi pegado do enunciado):
- Total de alunos:
. - Número aprovados em Estatística:
. - Número aprovados em Física:
. - Número aprovados em Química:
. - Número aprovados em Estatística e Física:
. - Número aprovados em Física e Química:
. - Número aprovados em Estatística e Química:
. - Número aprovados nas três disciplinas:
.
O que o problema pede:
- Calcular a probabilidade de que um aluno, escolhido aleatoriamente entre os
, tenha sido aprovado em pelo menos uma das disciplinas (ou seja, em Estatística, ou Física, ou Química, ou em mais de uma delas).
Passo 2
Defino as notações e o que precisamos encontrar:
-
= conjunto dos alunos aprovados em Estatística. -
= conjunto dos alunos aprovados em Física. -
= conjunto dos alunos aprovados em Química. - O evento “aprovado em pelo menos uma disciplina” é
. - A quantidade de alunos que passaram em pelo menos uma é
. - A probabilidade pedida será
.
Agora precisamos calcular
a partir dos números dados.
Passo 3
Apresento a fórmula que vamos usar — o Princípio da Inclusão-Exclusão para três conjuntos — e explico por que ela funciona.
Fórmula:
Intuição (explicação passo a passo e por que cada termo aparece):
- Quando somamos
cada aluno que está em duas disciplinas foi contado duas vezes e cada aluno que está nas três foi contado três vezes. - Subtraímos
para corrigir as duplas contagens: isso retira uma cópia extra de cada aluno que está em exatamente duas disciplinas. Porém, cada aluno que está nas três disciplinas estava inicialmente contado 3 vezes; ao subtrair os três pares, esse aluno é agora contado vezes — ou seja, foi retirado completamente, mas deveria ser contado uma vez. Por isso adicionamos de volta uma vez. - Assim obtemos a contagem correta de alunos que estão em pelo menos uma das disciplinas.
Passo 4
Agora aplico a fórmula substituindo os números dados:
Primeiro calcule as somas parciais em etapas claras:
Substituindo na fórmula:
Calculo passo a passo:
Portanto a quantidade de alunos aprovados em pelo menos uma disciplina é
.
Passo 5
Transformo essa contagem em probabilidade para um aluno escolhido ao acaso:
A probabilidade é
Simplifico a fração:
Converto para decimal e porcentagem (usando vírgula conforme convenção):
Como checagem rápida: o número de alunos que não foi aprovado em nenhuma disciplina é
, portanto a probabilidade de “nenhuma” é
, e assim a probabilidade de “pelo menos uma” é
, consistente com o cálculo anterior.
Passo 6
Dica de prova e checagem rápida (útil para você na hora da avaliação):
- Sempre verifique se as somas/interseções não geram números negativos ao aplicar a fórmula; se isso ocorrer, é sinal de entrada inconsistente.
- Verifique a consistência pelo complemento (calcular primeiro quantos não passaram em nenhuma e subtrair de total).
- Na hora, faça as somas parciais (somas de simples e de pares) antes de substituir na fórmula para evitar erros de pressa. Respire fundo — você já fez o mais difícil: aplicar a ideia certa.