Execute no R os comandos abaixo e registre os resultados:
dnorm(0)
pnorm(0)
qnorm(0.5)
dbinom(3, size = 10, prob = 0.5)
pbinom(3, size = 10, prob = 0.5)

Passo 1

O enunciado pede para executar no R os cinco comandos abaixo e registrar os resultados (estou usando exactamente os argumentos fornecidos):
  • dnorm(\(0\))
  • pnorm(\(0\))
  • qnorm(\(0{,}5\))
  • dbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5)
  • pbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5)
Vou calcular e explicar cada um deles passo a passo, mostrando a definição matemática por trás e como obter o valor numérico que o R retorna.

Passo 2

Explicando e calculando dnorm(\(0\)) (densidade da normal padrão em 0).
  • Definição: a densidade da normal com média \mu e desvio padrão \sigma é
f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}\right),
onde:
  • x é o ponto onde avalia a densidade,
  • \mu é a média,
  • \sigma é o desvio padrão,
  • \exp é a função exponencial.
  • No R, dnorm(0) usa por omissão \mu=0 e \sigma=1 (normal padrão). Substituindo \mu=0, \sigma=1 e x=0:
f(0)=\frac{1}{1\sqrt{2\pi}}\exp\!\left(-\frac{(0-0)^{2}}{2\cdot1^{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\cdot 1=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}.
  • Cálculo numérico: \,2\pi\approx 6{,}283185307, \sqrt{2\pi}\approx 2{,}506628275, logo
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx 0{,}398942280401433.
Portanto o R retorna aproximadamente \,0{,}3989423.

Passo 3

Explicando e calculando pnorm(\(0\)) (função de distribuição acumulada da normal padrão em 0).
  • Definição: a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é
\Phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^{2}/2}\,dt.
  • Propriedade usada: a densidade da normal padrão é simétrica em torno de 0. Assim \Phi(0)=0{,}5 porque metade da massa está à esquerda de 0 e metade à direita.
  • Portanto pnorm(0) retorna exatamente \,0{,}5.

Passo 4

Explicando e calculando qnorm(\(0{,}5\)) (quantil de ordem 0{,}5 da normal padrão).
  • Definição: a função quantil Q(p) é o inverso da CDF: Q(p)=\inf\{x:\Phi(x)\ge p\}. Em palavras, Q(p) é o valor de x tal que \Phi(x)=p.
  • Como vimos, \Phi(0)=0{,}5. Logo o quantil de ordem 0{,}5 (mediana) é 0.
  • Portanto qnorm(0{,}5) retorna \,0.

Passo 5

Explicando e calculando dbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5) (probabilidade pontual da binomial).
  • Definição: para X\sim\mathrm{Binomial}(n,p),
P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k},
onde:
  • n é o número de ensaios independentes,
  • p é a probabilidade de “sucesso” em cada ensaio,
  • k é o número de sucessos observados,
  • \binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!} é o coeficiente binomial.
  • No caso: n=10, k=3, p=0{,}5. Calculamos \binom{10}{3} diretamente:
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120.
  • Como p=0{,}5, temos p^{k}(1-p)^{n-k}=(0{,}5)^{3}(0{,}5)^{7}=(0{,}5)^{10}=\frac{1}{2^{10}}=\frac{1}{1024}.
  • Logo
P(X=3)=120\cdot\frac{1}{1024}=\frac{120}{1024}=0{,}1171875.
Portanto dbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5) retorna \,0{,}1171875.

Passo 6

Explicando e calculando pbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5) (probabilidade acumulada até 3 sucessos).
  • Definição: pbinom(3, ...) calcula P(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}P(X=k).
  • Já temos P(X=3)=\dfrac{120}{1024}. Vamos calcular P(X=0),P(X=1),P(X=2):
    • \binom{10}{0}=1 então P(X=0)=\dfrac{1}{1024}=0{,}0009765625.
    • \binom{10}{1}=10 então P(X=1)=\dfrac{10}{1024}=0{,}009765625.
    • \binom{10}{2}=45 então P(X=2)=\dfrac{45}{1024}=0{,}0439453125.
  • Somando os quatro termos:
P(X\le 3)=\frac{1+10+45+120}{1024}=\frac{176}{1024}=0{,}171875.
Portanto pbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5) retorna \,0{,}171875.

Resposta

\mathrm{dnorm}(0)=0{,}398942280401433
\mathrm{pnorm}(0)=0{,}5
\mathrm{qnorm}(0{,}5)=0
\mathrm{dbinom}(3,\,\text{size}=10,\,\text{prob}=0{,}5)=0{,}1171875
\mathrm{pbinom}(3,\,\text{size}=10,\,\text{prob}=0{,}5)=0{,}171875

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