Execute no R os comandos abaixo e registre os resultados:
dnorm(0)
pnorm(0)
qnorm(0.5)
dbinom(3, size = 10, prob = 0.5)
pbinom(3, size = 10, prob = 0.5)
dnorm(0)
pnorm(0)
qnorm(0.5)
dbinom(3, size = 10, prob = 0.5)
pbinom(3, size = 10, prob = 0.5)
Passo 1
O enunciado pede para executar no R os cinco comandos abaixo e registrar os resultados (estou usando exactamente os argumentos fornecidos):
dnorm(\(0\))pnorm(\(0\))qnorm(\(0{,}5\))dbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5)pbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5)
Vou calcular e explicar cada um deles passo a passo, mostrando a definição matemática por trás e como obter o valor numérico que o R retorna.
Passo 2
Explicando e calculando ).
dnorm(\(0\)) (densidade da normal padrão em
- Definição: a densidade da normal com média
e desvio padrão é
onde:
-
é o ponto onde avalia a densidade, -
é a média, -
é o desvio padrão, -
é a função exponencial. - No R,
dnorm(0)usa por omissãoe (normal padrão). Substituindo , e :
- Cálculo numérico:
, , logo
Portanto o R retorna aproximadamente
.
Passo 3
Explicando e calculando ).
pnorm(\(0\)) (função de distribuição acumulada da normal padrão em
- Definição: a função de distribuição acumulada (CDF) da normal padrão é
- Propriedade usada: a densidade da normal padrão é simétrica em torno de
. Assim porque metade da massa está à esquerda de e metade à direita. - Portanto
pnorm(0)retorna exatamente.
Passo 4
Explicando e calculando da normal padrão).
qnorm(\(0{,}5\)) (quantil de ordem
- Definição: a função quantil
é o inverso da CDF: . Em palavras, é o valor de tal que . - Como vimos,
. Logo o quantil de ordem (mediana) é . - Portanto
qnorm(0{,}5)retorna.
Passo 5
Explicando e calculando
dbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5) (probabilidade pontual da binomial).- Definição: para
,
onde:
-
é o número de ensaios independentes, -
é a probabilidade de “sucesso” em cada ensaio, -
é o número de sucessos observados, -
é o coeficiente binomial. - No caso:
, , . Calculamos diretamente:
- Como
, temos - Logo
Portanto .
dbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5) retorna
Passo 6
Explicando e calculando sucessos).
pbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5) (probabilidade acumulada até
- Definição:
pbinom(3, ...)calcula. - Já temos
. Vamos calcular : -
então -
então -
então
-
- Somando os quatro termos:
Portanto .
pbinom(3, size = 10, prob = 0{,}5) retorna