Considere uma v.a.
:
- Calcule
- Calcule
- Encontre o valor de
tal que
.
- Encontre o valor de
tal que
.
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
- A variável aleatória é
.\n - Perguntas:\n
- Calcular
.\n - Calcular
.\n - Encontrar
tal que .\n - Encontrar
tal que .\n
- Calcular
- Informações dadas: a distribuição normal com média e variância estão na notação
. Aqui e serão usados diretamente na resolução.
Passo 2
Entendendo a notação e os parâmetros (coisa essencial antes de fazer conta):\n
-
significa que a média é e a variância é .\n - Desse modo o desvio-padrão é
.\n - Sempre que trabalhamos com normais, é prático transformar (padronizar) para a normal padrão
usando\n
Essa fórmula pega qualquer
com média
e desvio
e traz para uma variável com média
e desvio
.
Passo 3
Regra de padronização e função de distribuição acumulada:\n
- Se queremos
, usamos\n - Denotamos a função de distribuição da normal padrão por
.\n - Observação útil (simetria):
. Assim, frequentemente conseguimos valores para negativos a partir dos positivos.\n - As tabelas (ou calculadora) normalmente dão
para . Vou usar valores comuns de tabela: , , , e quantis , . Esses são valores de tabela/calculadora padrão.
Passo 4
Resolver a parte 1:
.\n
- Padronizamos os extremos:\n
- Para
: .\n - Para
: .\n
- Para
- Então\n
- Usando
e a simetria com , temos\n - Portanto\n
Passo 5
Resolver a parte 2:
.\n
- Padronizamos os extremos:\n
- Para
: .\n - Para
: .\n
- Para
- Assim\n
- Usando
e , obtemos\n - Observação rápida: esse valor está bem próximo da regra empírica “68%” para uma faixa de
desvio-padrão.
Passo 6
Resolver a parte 3: encontrar
tal que
.\n
-
implica .\n - Padronizando:
.\n - Logo
. Pelo quadro de quantis, .\n - Assim\n
Passo 7
Resolver a parte 4: encontrar
tal que
.\n
-
implica .\n - Padronizando:
.\n - Da tabela/calculadora
.\n - Logo\n
Resposta
-
\n -
\n -
\n -