Considere uma v.a. X \sim N(3,25) :
  1. Calcule \operatorname{Pr}(-3 \leq X \leq 3)
  2. Calcule \operatorname{Pr}(-2 \leq X \leq 8)
  3. Encontre o valor de k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,05.
  4. Encontre o valor de k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,80.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
  • A variável aleatória é \;X \sim N(3,25)\;.\n
  • Perguntas:\n
    1. Calcular \operatorname{Pr}(-3 \leq X \leq 3).\n
    2. Calcular \operatorname{Pr}(-2 \leq X \leq 8).\n
    3. Encontrar k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,05.\n
    4. Encontrar k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,80.\n
  • Informações dadas: a distribuição normal com média e variância estão na notação \;N(\mu,\sigma^{2})\;. Aqui \mu e \sigma^{2} serão usados diretamente na resolução.

Passo 2

Entendendo a notação e os parâmetros (coisa essencial antes de fazer conta):\n
  • \;X \sim N(3,25)\; significa que a média é \mu=3 e a variância é \sigma^{2}=25.\n
  • Desse modo o desvio-padrão é \sigma=\sqrt{25}=5.\n
  • Sempre que trabalhamos com normais, é prático transformar (padronizar) para a normal padrão Z\sim N(0,1) usando\n Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Essa fórmula pega qualquer X com média \mu e desvio \sigma e traz para uma variável com média 0 e desvio 1.

Passo 3

Regra de padronização e função de distribuição acumulada:\n
  • Se queremos \operatorname{Pr}(a\le X\le b), usamos\n \operatorname{Pr}(a\le X\le b)=\operatorname{Pr}\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\le Z\le\frac{b-\mu}{\sigma}\right).
  • Denotamos a função de distribuição da normal padrão por \Phi(z)=\operatorname{Pr}(Z\le z).\n
  • Observação útil (simetria): \Phi(-z)=1-\Phi(z). Assim, frequentemente conseguimos valores para negativos a partir dos positivos.\n
  • As tabelas (ou calculadora) normalmente dão \Phi(z) para z\ge 0. Vou usar valores comuns de tabela: \Phi(0)=0,5, \Phi(1)=0,84134, \Phi(1,2)=0,88493, e quantis \Phi^{-1}(0,95)\approx 1,645, \Phi^{-1}(0,20)\approx -0,8416. Esses são valores de tabela/calculadora padrão.

Passo 4

Resolver a parte 1: \operatorname{Pr}(-3\le X\le 3).\n
  • Padronizamos os extremos:\n
    • Para x=-3: \displaystyle z_1=\frac{-3-\mu}{\sigma}=\frac{-3-3}{5}=\frac{-6}{5}=-1,2.\n
    • Para x=3: \displaystyle z_2=\frac{3-\mu}{\sigma}=\frac{3-3}{5}=0.\n
  • Então\n \operatorname{Pr}(-3\le X\le 3)=\Phi(0)-\Phi(-1,2).
  • Usando \Phi(0)=0,5 e a simetria \Phi(-1,2)=1-\Phi(1,2) com \Phi(1,2)\approx 0,88493, temos\n \Phi(-1,2)=1-0,88493=0,11507.
  • Portanto\n \operatorname{Pr}(-3\le X\le 3)=0,5-0,11507=0,38493\approx 0,3849.

Passo 5

Resolver a parte 2: \operatorname{Pr}(-2\le X\le 8).\n
  • Padronizamos os extremos:\n
    • Para x=-2: \displaystyle z_a=\frac{-2-3}{5}=\frac{-5}{5}=-1.\n
    • Para x=8: \displaystyle z_b=\frac{8-3}{5}=\frac{5}{5}=1.\n
  • Assim\n \operatorname{Pr}(-2\le X\le 8)=\Phi(1)-\Phi(-1).
  • Usando \Phi(1)\approx 0,84134 e \Phi(-1)=1-\Phi(1)=1-0,84134=0,15866, obtemos\n \operatorname{Pr}(-2\le X\le 8)=0,84134-0,15866=0,68268\approx 0,6827.
  • Observação rápida: esse valor está bem próximo da regra empírica “68%” para uma faixa de \pm 1 desvio-padrão.

Passo 6

Resolver a parte 3: encontrar k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,05.\n
  • \operatorname{Pr}(X>k)=0,05 implica \operatorname{Pr}(X\le k)=0,95.\n
  • Padronizando: \operatorname{Pr}\!\left(Z\le\frac{k-\mu}{\sigma}\right)=0,95.\n
  • Logo \frac{k-\mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(0,95). Pelo quadro de quantis, \Phi^{-1}(0,95)\approx 1,645.\n
  • Assim\n k=\mu+\sigma\cdot 1,645=3+5\cdot 1,645=3+8,225=11,225\approx 11,23.

Passo 7

Resolver a parte 4: encontrar k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,80.\n
  • \operatorname{Pr}(X>k)=0,80 implica \operatorname{Pr}(X\le k)=0,20.\n
  • Padronizando: \frac{k-\mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(0,20).\n
  • Da tabela/calculadora \Phi^{-1}(0,20)\approx -0,8416.\n
  • Logo\n k=\mu+\sigma\cdot(-0,8416)=3+5\cdot(-0,8416)=3-4,208= -1,208\approx -1,21.

Resposta

  1. \operatorname{Pr}(-3\le X\le 3)=0,3849\n
  2. \operatorname{Pr}(-2\le X\le 8)=0,6827\n
  3. k\approx 11,23\n
  4. k\approx -1,21

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