O 90^{\circ} percentil de uma v.a. N\left(\mu, \sigma^{2}\right) é 50 , enquanto o 15^{\circ} percentil é 25 . Encontre os valores dos parâmetros da distribuição.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória normalmente distribuída com parâmetros desconhecidos \mu e \sigma^{2}, isto é \,N\left(\mu,\sigma^{2}\right). As informações fornecidas são:
\text{o percentil de }90\% \text{ é }50é
\text{o percentil de }15\% \text{ é }25é
A pergunta é: encontrar os valores dos parâmetros \mu e \sigma.

Passo 2

Vamos traduzir o que significa “o p-ésimo percentil” para essa distribuição. Por definição, o p-ésimo percentil x_{p} satisfaz
P(X \le x_{p}) = p.
Para uma normal qualquer X\sim N(\mu,\sigma^{2}) existe uma relação direta com a normal padrão Z\sim N(0,1). Se z_{p} é o p-ésimo percentil da normal padrão (ou seja \,P(Z\le z_{p})=p), então o p-ésimo percentil de X é dado por
x_{p} = \mu + \sigma\, z_{p}.
Aqui \mu é a média da distribuição e \sigma>0 é o desvio padrão. Esta fórmula vem da padronização Z=(X-\mu)/\sigma.

Passo 3

Aplicando a fórmula do passo anterior aos dois percentis que nos deram, obtemos duas equações lineares em \mu e \sigma:
\mu + \sigma\, z_{0,90} = 50,
\mu + \sigma\, z_{0,15} = 25,
onde z_{0,90} é o quantil de nível 0{,}90 da normal padrão e z_{0,15} é o quantil de nível 0{,}15. Usando tabela de z ou função inversa da normal, temos (valores padrão):
z_{0,90} \approx 1{,}2815515655,
z_{0,15} \approx -1{,}0364333895.
(Se você tiver apenas tabela com menos casas, use a aproximação disponível; o procedimento é o mesmo.)

Passo 4

Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar \mu obtemos:
\sigma\left(z_{0,90}-z_{0,15}\right)=50-25=25.
Logo
\sigma=\frac{25}{\,z_{0,90}-z_{0,15}\,}.

Passo 5

Calcule a diferença dos z-scores:
z_{0,90}-z_{0,15}\approx 1{,}2815515655 - (-1{,}0364333895)=2{,}3179849550.
Agora dividimos:
\sigma \approx \frac{25}{2{,}3179849550}\approx 10{,}785.
Vou manter três casas decimais: \sigma \approx 10{,}785.

Passo 6

Com \sigma encontrado, usamos uma das duas equações para achar \mu. Usando \mu + \sigma\, z_{0,15}=25:
\mu = 25 - \sigma\, z_{0,15}.
Como z_{0,15} é negativo, isso equivale a somar um valor positivo.

Passo 7

Calcule numericamente:
\mu \approx 25 - (10{,}785)\cdot(-1{,}0364333895)
\mu \approx 25 + 10{,}785\cdot 1{,}0364333895 \approx 25 + 11{,}183 \approx 36{,}183.
(Se em vez disso usar a primeira equação \mu=50-\sigma z_{0,90} obtém-se o mesmo resultado dentro de arredondamentos.)

Passo 8

Verificação rápida: com os valores encontrados,
\mu+\sigma z_{0,90}\approx 36{,}183 + 10{,}785\cdot 1{,}2815515655 \approx 50
e
\mu+\sigma z_{0,15}\approx 36{,}183 + 10{,}785\cdot(-1{,}0364333895)\approx 25,
portanto os resultados estão consistentes.

Resposta

\mu \approx 36{,}183
\sigma \approx 10{,}785

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