O
percentil de uma v.a.
é 50 , enquanto o
percentil é 25 . Encontre os valores dos parâmetros da distribuição.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória normalmente distribuída com parâmetros desconhecidos
e
, isto é
. As informações fornecidas são:
A pergunta é: encontrar os valores dos parâmetros
e
.
Passo 2
Vamos traduzir o que significa “o
-ésimo percentil” para essa distribuição. Por definição, o
-ésimo percentil
satisfaz
Para uma normal qualquer
existe uma relação direta com a normal padrão
. Se
é o
-ésimo percentil da normal padrão (ou seja
), então o
-ésimo percentil de
é dado por
Aqui
é a média da distribuição e
é o desvio padrão. Esta fórmula vem da padronização
.
Passo 3
Aplicando a fórmula do passo anterior aos dois percentis que nos deram, obtemos duas equações lineares em
e
:
onde
é o quantil de nível
da normal padrão e
é o quantil de nível
. Usando tabela de z ou função inversa da normal, temos (valores padrão):
(Se você tiver apenas tabela com menos casas, use a aproximação disponível; o procedimento é o mesmo.)
Passo 4
Subtraindo a segunda equação da primeira para eliminar
obtemos:
Logo
Passo 5
Calcule a diferença dos z-scores:
Agora dividimos:
Vou manter três casas decimais:
.
Passo 6
Com
encontrado, usamos uma das duas equações para achar
. Usando
:
Como
é negativo, isso equivale a somar um valor positivo.
Passo 7
Calcule numericamente:
(Se em vez disso usar a primeira equação
obtém-se o mesmo resultado dentro de arredondamentos.)
Passo 8
Verificação rápida: com os valores encontrados,
e
portanto os resultados estão consistentes.