Na distribuição normal X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), encontre:
  1. \operatorname{Pr}(X \leq \mu+2 \sigma)
  2. \operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq \sigma)
  3. \operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq 1,96 \sigma)
  4. o número k tal que \operatorname{Pr}(\mu-k \sigma \leq X \leq \mu+k \sigma)=0,99
  5. o número k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,90.

Passo 1

Dados do enunciado:
X \sim N\left(\mu,\sigma^{2}\right).
Perguntas (exatamente o que nos pediram):
  1. Calcular \operatorname{Pr}(X \leq \mu+2\sigma).
  2. Calcular \operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq \sigma).
  3. Calcular \operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq 1,96\sigma).
  4. Encontrar o número k tal que \operatorname{Pr}(\mu-k\sigma \leq X \leq \mu+k\sigma)=0,99.
  5. Encontrar o número k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,90.

Passo 2

Ferramenta principal (padronização) — vamos ensinar isso direitinho.
Definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui Z tem distribuição normal padrão, isto é Z\sim N(0,1). A função
\Phi(t) representa a probabilidade acumulada da normal padrão:
\Phi(t)=\operatorname{Pr}(Z\leq t).
Usos importantes da simetria da normal padrão:
\Phi(-a)=1-\Phi(a),
e para um intervalo simétrico em torno de zero
\operatorname{Pr}(-a\le Z\le a)=\Phi(a)-\Phi(-a)=2\Phi(a)-1.
Quando precisamos de \Phi^{-1}(p) significa o valor t tal que \Phi(t)=p. Em provas normalmente usamos tabelas de \Phi ou calculadora; vou usar valores padrão conhecidos.

Passo 3

Item 1: \operatorname{Pr}(X \leq \mu+2\sigma).
Padronizo:
\operatorname{Pr}(X \leq \mu+2\sigma)=\operatorname{Pr}\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\leq\frac{\mu+2\sigma-\mu}{\sigma}\right)=\operatorname{Pr}(Z\leq 2)=\Phi(2).
Valor conhecido da tabela da normal padrão:
\Phi(2)=0,97725.
Logo
\operatorname{Pr}(X \leq \mu+2\sigma)=0,97725.

Passo 4

Item 2: \operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq \sigma).
Interpretação: é a probabilidade de X ficar entre \mu-\sigma e \mu+\sigma:
\operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq \sigma)=\operatorname{Pr}(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma).
Padronizando:
\operatorname{Pr}(-1\le Z\le 1)=2\Phi(1)-1.
Valor conhecido:
\Phi(1)=0,84134,
portanto
2\Phi(1)-1=2\cdot0,84134-1=0,68268.
Isso corresponde à regra empírica de que ~68,27% dos dados ficam a uma volta padrão da média.

Passo 5

Item 3: \operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq 1,96\sigma).
Mesmo raciocínio:
\operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq 1,96\sigma)=\operatorname{Pr}(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=2\Phi(1{,}96)-1.
Valor conhecido (tabela/uso comum em intervalos de confiança):
\Phi(1{,}96)=0,97500,
logo
2\cdot0,97500-1=0,95000.
Portanto a probabilidade é 0,95 (ou 95\%).

Passo 6

Item 4: achar k tal que \operatorname{Pr}(\mu-k\sigma \le X \le \mu+k\sigma)=0,99.
Usamos a equivalência para Z:
\operatorname{Pr}(-k\le Z\le k)=2\Phi(k)-1=0,99.
Isolando \Phi(k):
\Phi(k)=\frac{0,99+1}{2}=0,995.
Assim
k=\Phi^{-1}(0,995).
Valor conhecido:
\Phi^{-1}(0,995)\approx 2,5758.
Logo
k\approx 2,5758.

Passo 7

Item 5: achar k tal que \operatorname{Pr}(X>k)=0,90.
Primeiro escrevo em termos da cauda esquerda:
\operatorname{Pr}(X\le k)=1-0,90=0,10.
Padronizando:
\operatorname{Pr}\!\left(Z\le\frac{k-\mu}{\sigma}\right)=0,10,
ou seja
\frac{k-\mu}{\sigma}=\Phi^{-1}(0,10).
Valor conhecido:
\Phi^{-1}(0,10)\approx -1,2816.
Portanto
k=\mu+\sigma\cdot(-1,2816)=\mu-1,2816\,\sigma.

Resposta

\operatorname{Pr}(X \leq \mu+2\sigma)=0,97725
\operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq \sigma)=0,68268
\operatorname{Pr}(|X-\mu| \leq 1,96\sigma)=0,95000
k\approx 2,5758
k=\mu-1,2816\,\sigma

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