Uma enchedora automática enche garrafas de acordo com uma distribuição normal de média 1.000 ml . Deseja-se que no máximo uma garrafa em 100 saia com menos de 990 ml . Qual deve ser o maior desvio padrão tolerável?

Passo 1

O enunciado dá uma enchedora automática cuja quantidade de líquido por garrafa segue uma distribuição normal com média \mu = 1{,}000 ml. Deseja-se que, no máximo, uma garrafa em cada 100 saia com menos de 990 ml.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\mu = 1{,}000\\ \text{ml}
\text{o limite inferior considerado} = 990\\ \text{ml}
\text{probabilidade máxima aceitável} = 0{,}01\\ \text{(uma em 100)}áá
O que o problema pede: encontrar o maior desvio padrão \sigma tolerável que garante que \Pr(X<990)\le 0{,}01, onde X é a quantidade de líquido em uma garrafa.

Passo 2

Vamos modelar a variável aleatória X como
X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)
com \mu=1{,}000 e \sigma desconhecido. A probabilidade que nos interessa é \Pr(X<990). A ideia básica que vamos usar é a padronização (transformar X numa normal padrão), porque a tabela/inversa da normal padrão é a ferramenta padrão para achar probabilidades e quantis de normais.
Explicando a padronização (aula rápida e prática):
  • A normal padrão é a normal com média 0 e desvio padrão 1: \mathcal{N}(0,1). Chamamos sua função de distribuição acumulada de \Phi.
  • Para qualquer normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^2) podemos transformar X em Z por
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
  • Então \Pr(X<a)=\Pr\!\left(Z<\frac{a-\mu}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right).
    Aqui, a=990, \mu=1{,}000, então \Pr(X<990)=\Phi\!\left(\dfrac{990-1000}{\sigma}\right)=\Phi\!\left(\dfrac{-10}{\sigma}\right).

Passo 3

Escrevendo a condição do enunciado em termos de \Phi:
\Pr(X<990)\le 0{,}01 \quad\Rightarrow\quad \Phi\!\left(\frac{-10}{\sigma}\right)\le 0{,}01.
Para achar o maior \sigma tolerável, tomamos a igualdade (se aumentarmos \sigma a probabilidade aumenta, então a maior \sigma ocorre quando a probabilidade é exatamente 0{,}01; vou justificar isso com calma).
Justificativa da monotonicidade (por que igualdade dá o máximo \sigma):
  • A função g(\sigma)=\Phi\!\left(\dfrac{-10}{\sigma}\right) é crescente em \sigma>0 porque \dfrac{-10}{\sigma} aumenta (fica menos negativo) quando \sigma aumenta, e \Phi é crescente. Assim, para manter g(\sigma)\le 0{,}01 o maior \sigma possível é aquele que satisfaz g(\sigma)=0{,}01.

Passo 4

Resolver a equação
\Phi\!\left(\frac{-10}{\sigma}\right)=0{,}01.
Chamando z_{0{,}01} o quantil da normal padrão de nível 0{,}01, isto é
z_{0{,}01} = \Phi^{-1}(0{,}01),
temos
\frac{-10}{\sigma}=z_{0{,}01}.
Observação sobre z_{0{,}01}: como 0{,}01 é uma probabilidade muito pequena, z_{0{,}01} é negativo. Usando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística obtemos o valor aproximado
z_{0{,}01}\approx -2{,}3263.
(Se você consultar uma tabela ela pode dar -2{,}33 arredondado; usar mais casas melhora a precisão.)

Passo 5

Isolando \sigma na equação \dfrac{-10}{\sigma}=z_{0{,}01}:
\sigma = \frac{10}{-z_{0{,}01}}.
Como z_{0{,}01} é negativo, -z_{0{,}01}>0. Substituindo z_{0{,}01}\approx -2{,}3263:
\sigma \approx \frac{10}{2{,}3263}.

Passo 6

Fazendo a divisão (mostrando o cálculo passo a passo para você poder refazer sem calculadora: dividir 10 por 2,3263 dá cerca de 4,299…):
\sigma \approx 4{,}299\\ \text{ml}.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (suficiente para controle de processo), obtemos
\sigma \approx 4{,}30\\ \text{ml}.

Passo 7

Interpretação final e dica prática:
  • Isso significa que, se o processo tiver desvio padrão menor ou igual a \approx 4{,}30 ml, a chance de uma garrafa sair com menos de 990 ml será no máximo 1\%.
  • Dica de prova: sempre transforme para a normal padrão com Z=(X-\mu)/\sigma, use \Phi e o quantil inverso \Phi^{-1}. Lembre-se da monotonicidade para decidir se toma igualdade ao procurar o “maior” ou “menor” \sigma.

Resposta

\sigma \approx 4{,}30\\ \text{ml}

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