Uma enchedora automática enche garrafas de acordo com uma distribuição normal de média 1.000 ml . Deseja-se que no máximo uma garrafa em 100 saia com menos de 990 ml . Qual deve ser o maior desvio padrão tolerável?
Passo 1
O enunciado dá uma enchedora automática cuja quantidade de líquido por garrafa segue uma distribuição normal com média
ml. Deseja-se que, no máximo, uma garrafa em cada 100 saia com menos de
ml.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que o problema pede: encontrar o maior desvio padrão
tolerável que garante que
, onde
é a quantidade de líquido em uma garrafa.
Passo 2
Vamos modelar a variável aleatória
como
com
e
desconhecido. A probabilidade que nos interessa é
. A ideia básica que vamos usar é a padronização (transformar
numa normal padrão), porque a tabela/inversa da normal padrão é a ferramenta padrão para achar probabilidades e quantis de normais.
Explicando a padronização (aula rápida e prática):
- A normal padrão é a normal com média
e desvio padrão : . Chamamos sua função de distribuição acumulada de . - Para qualquer normal
podemos transformar em por
- Então
.
Aqui,, , então .
Passo 3
Escrevendo a condição do enunciado em termos de
:
Para achar o maior
tolerável, tomamos a igualdade (se aumentarmos
a probabilidade aumenta, então a maior
ocorre quando a probabilidade é exatamente
; vou justificar isso com calma).
Justificativa da monotonicidade (por que igualdade dá o máximo
):
- A função
é crescente em porque aumenta (fica menos negativo) quando aumenta, e é crescente. Assim, para manter o maior possível é aquele que satisfaz .
Passo 4
Resolver a equação
Chamando
o quantil da normal padrão de nível
, isto é
temos
Observação sobre
: como
é uma probabilidade muito pequena,
é negativo. Usando uma tabela da normal padrão ou uma calculadora estatística obtemos o valor aproximado
(Se você consultar uma tabela ela pode dar
arredondado; usar mais casas melhora a precisão.)
Passo 5
Isolando
na equação
:
Como
é negativo,
. Substituindo
:
Passo 6
Fazendo a divisão (mostrando o cálculo passo a passo para você poder refazer sem calculadora: dividir 10 por 2,3263 dá cerca de 4,299…):
Arredondando de forma prática para duas casas decimais (suficiente para controle de processo), obtemos
Passo 7
Interpretação final e dica prática:
- Isso significa que, se o processo tiver desvio padrão menor ou igual a
ml, a chance de uma garrafa sair com menos de ml será no máximo . - Dica de prova: sempre transforme para a normal padrão com
, use e o quantil inverso . Lembre-se da monotonicidade para decidir se toma igualdade ao procurar o “maior” ou “menor” .