Considere f(x)=\sin (x)-\frac{x}{2}. Use o método da bisseção para encontrar uma raiz no intervalo [1,3]. Determine o número de iterações para atingir \varepsilon_{s}=0,01.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\sin(x)-\frac{x}{2}
e pede para usar o método da bisseção no intervalo inicial [1,3]. O conteúdo é resolução de equação não linear por bisseção, e vamos aplicar a fórmula do erro máximo após n iterações.

Passo 2

No método da bisseção, após n iterações o erro de aproximação satisfaça
\varepsilon_n \le \frac{b_0 - a_0}{2^n},
onde a_0=1 e b_0=3 são as extremidades iniciais do intervalo.

Passo 3

Queremos que \varepsilon_n \le \varepsilon_s, com \varepsilon_s=0,01. Logo, precisamos de
\frac{3 - 1}{2^n} \le 0,01 \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{2^n} \le 0,01 \quad\Longrightarrow\quad 2^n \ge 200.

Passo 4

Para encontrar o menor n inteiro que satisfaça 2^n \ge 200, calculamos
n \ge \log_2(200) = \frac{\log(200)}{\log(2)} \approx 7,64.
Como n deve ser inteiro, tomamos o teto e obtemos n=8.

Resposta

São necessárias 8 iterações para que o erro fique abaixo de 0,01.

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