Considere os sinais abaixo. Calcule a transformada de Fourier.
e^-a t u1(t), a real e positivo

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular a transformada de Fourier do sinal e^-a t u1(t) , onde a é um número real positivo. Isso envolve conceitos de transformadas de Fourier, funções exponenciais e a função degrau unitário u(t) . Vamos precisar entender como aplicar a transformada de Fourier nessa função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Fourier. Ela é uma ferramenta matemática usada para decompor um sinal em suas frequências constituintes. A fórmula geral da transformada de Fourier é:
F(omega) = integral-infty^infty f(t) e^-i omega t dt
Onde:
  • F(omega) é a transformada de Fourier de f(t) .
  • omega é a frequência angular.
  • i é a unidade imaginária.

Passo 3

Agora, vamos analisar o sinal [e^{-a t} u_{1}(t)). Aqui, representa a função degrau unitário deslocada, ou seja, . A função degrau unitário é definida como:
Isso significa que o sinal para e zero para .

Passo 4

Vamos substituir f(t) na fórmula da transformada de Fourier:
F(omega) = integral-infty^infty e^-a t u(t - 1) e^-i omega t dt
Como u(t - 1) é zero para t < 1 , a integral simplifica para:
F(omega) = integral1^infty e^-a t e^-i omega t dt

Passo 5

Podemos combinar os expoentes:
e^-a t e^-i omega t = e^-(a + i omega) t
Então, a integral fica:
F(omega) = integral1^infty e^-(a + i omega) t dt

Passo 6

Essa é uma integral de uma exponencial, cuja solução é conhecida:
integralc^infty e^-s t dt = e^-s cs com Re(s) > 0
Aqui, s = a + i omega e como a > 0 , a condição Re(s) > 0 é satisfeita.

Passo 7

Aplicando a fórmula da integral, temos:
F(omega) = e^-(a + i omega) cdot 1a + i omega = e^-(a + i omega)a + i omega

Resposta

A transformada de Fourier de e^-a t u1(t) é:
F(omega) = e^-(a + i omega)a + i omega

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