Considere os sinais abaixo. Calcule a Transformada de Fourier (TF), construa os diagramas de módulo e fase em função da frequência. Considere frequência positiva e negativa.
c. e^-a|t|, a real e positivo
OBS.: O que acontece quando a 0 ?

Passo 1

O enunciado pede a Transformada de Fourier de x(t)=e^-a|t| com a>0, além dos diagramas de módulo e fase em função de omega. O conteúdo principal é a definição de Transformada de Fourier para funções reais e ímpares/par, sabendo que funções pares geram transformadas reais e pares em omega.

Passo 2

Escrevemos a definição
X(jomega);=;integral-infty^inftye^-a|t|,e^-jomega t,dt
Como e^-a|t| é função par, podemos usar a propriedade
integral-infty^inftyf(t),e^-jomega t,dt =2integral0^inftyf(t)cos(omega t),dt
para f(t)=e^-a t em t>=0.

Passo 3

Calculamos o integral conhecido
integral0^inftye^-a tcos(omega t),dt =aa^2+omega^2,
válido para Re(a)>0. Logo
X(jomega) =2integral0^inftye^-a tcos(omega t),dt =2aa^2+omega^2

Passo 4

Como X(jomega)=dfrac2aa^2+omega^2 é real e positiva para todo omega, temos
– Diagrama de módulo:
|X(jomega)|=2aa^2+omega^2,
uma função par em omega que atinge máximo em omega=0 e decai como 1/omega^2 para |omega|toinfty.
– Diagrama de fase:
ang<= X(jomega)=0para todo (omega)

Passo 5

Quando ato0^+, no tempo x(t)=e^-a|t|to1. A Transformada de Fourier de 1 é 2pide<a(omega). Formalmente, para omeganeq0,
limato0^+2aa^2+omega^2=0,
porém
integral-infty^infty2aa^2+omega^2,domega =2pi,
o que caracteriza 2pide<a(omega).

Resposta

X(jomega)=2aa^2+omega^2,
|X(jomega)|=2aa^2+omega^2, ang<= X(jomega)=0
Quando a0^+, X(jomega)to2pide<a(omega).

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