Utilize séries de potências para calcular os limites abaixo. (Dica: Expanda as funções em séries de Maclaurin e simplifique a expressão antes de tomar o limite.)
lim x 0 tan x-xx^3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0tan x - xx^3
usando séries de Maclaurin. Vamos precisar lembrar a expansão de tan x em potência de x até a ordem x^5 para obter o termo em x^3.

Passo 2

A série de Maclaurin de tan x é conhecida:
tan x = x + x^33 + 2,x^515 + O(x^7)
Isso significa que, para x pequeno,
tan x - x = x^33 + O(x^5)

Passo 3

Substituindo em tan x - xx^3, temos
tan x - xx^3 = x^33 + O(x^5)x^3 = 13 + O(x^2)
Quando xto0, o O(x^2) some, sobrando tfrac13.

Resposta

13

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