Considere o sinal
. Para cada valor de
abaixo, determine se a sequência é periódica e, se sim, indique o seu período fundamental.
Passo 1
O enunciado dá a sequência
com
. A pergunta é: a sequência é periódica? Se for, qual é o período fundamental (menor inteiro positivo
tal que
para todo
)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é
. - O valor dado é
.
Passo 2
Vamos lembrar a condição de periodicidade para sequências discretas do tipo
.
A sequência será periódica se existir um inteiro positivo
tal que, para todo
,
Usando a identidade da função cosseno, isso ocorre sempre que o acréscimo de fase
for um múltiplo inteiro de
, isto é:
para algum inteiro
. Essa é a condição que vamos usar. Nosso objetivo é encontrar o menor
inteiro que satisfaça essa equação com algum inteiro
.
Passo 3
Primeiro escrevo
como uma fração racional vezes
. Tenho
. Transformando a vírgula em fração:
Portanto
É útil também escrever
na forma
vezes uma fração:
Assim a razão
é racional, o que já indica que a sequência é periódica (porque existe
inteiro tal que
é múltiplo de
).
Passo 4
Agora aplico a condição de periodicidade explícita:
Substituindo
obtém-se
Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Queremos o menor inteiro positivo
. Aqui
será inteiro somente se
for múltiplo de
, porque
é não inteiro. Então o menor
que torna
inteiro é
.
Passo 5
Tomando
obtemos
Verifico que esse
funciona:
logo
para todo
.
Também é fácil ver que não existe
inteiro positivo menor que
que satisfaça a condição: se tentarmos divisores menores, por exemplo
, temos
, e
em geral. Portanto
é realmente o período fundamental.
Passo 6
Resumo intuitivo e dica para prova: sempre escreva
como
com
. Então o período fundamental é
. No nosso caso
com
,
e
, logo
.
Resposta
A sequência é periódica.
Período fundamental: .
Período fundamental: