Considere o sinal x[n]=\cos \left(\omega_{0} n\right). Para cada valor de \omega_{0} abaixo, determine se a sequência é periódica e, se sim, indique o seu período fundamental.
\omega_{0}=0,14 \pi

Passo 1

O enunciado dá a sequência x[n]=\cos\!\big(\omega_{0} n\big) com \omega_{0}=0,14\pi. A pergunta é: a sequência é periódica? Se for, qual é o período fundamental (menor inteiro positivo N tal que x[n+N]=x[n] para todo n)?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é x[n]=\cos\!\big(\omega_{0} n\big).
  • O valor dado é \omega_{0}=0,14\pi.

Passo 2

Vamos lembrar a condição de periodicidade para sequências discretas do tipo x[n]=\cos\!\big(\omega_{0} n\big).
A sequência será periódica se existir um inteiro positivo N tal que, para todo n,
\cos\!\big(\omega_{0}(n+N)\big)=\cos\!\big(\omega_{0} n\big).
Usando a identidade da função cosseno, isso ocorre sempre que o acréscimo de fase \omega_{0}N for um múltiplo inteiro de 2\pi, isto é:
\omega_{0} N = 2\pi m,
para algum inteiro m. Essa é a condição que vamos usar. Nosso objetivo é encontrar o menor N>0 inteiro que satisfaça essa equação com algum inteiro m.

Passo 3

Primeiro escrevo \omega_{0} como uma fração racional vezes \pi. Tenho \omega_{0}=0,14\pi. Transformando a vírgula em fração:
0,14 = \frac{14}{100} = \frac{7}{50}.
Portanto
\omega_{0} = \frac{7}{50}\pi.
É útil também escrever \omega_{0} na forma 2\pi vezes uma fração:
\omega_{0} = \frac{7}{50}\pi = 2\pi\cdot\frac{7}{100}.
Assim a razão \dfrac{\omega_{0}}{2\pi}=\dfrac{7}{100} é racional, o que já indica que a sequência é periódica (porque existe N inteiro tal que \omega_{0}N é múltiplo de 2\pi).

Passo 4

Agora aplico a condição de periodicidade explícita:
\omega_{0} N = 2\pi m.
Substituindo \omega_{0}=\dfrac{7}{50}\pi obtém-se
\frac{7}{50}\pi \, N = 2\pi m.
Dividindo ambos os lados por \pi:
\frac{7}{50}N = 2m.
Isolando N:
N = \frac{50\cdot 2m}{7} = \frac{100}{7}\,m.
Queremos o menor inteiro positivo N. Aqui N será inteiro somente se m for múltiplo de 7, porque 100/7 é não inteiro. Então o menor m>0 que torna N inteiro é m=7.

Passo 5

Tomando m=7 obtemos
N = \frac{100}{7}\cdot 7 = 100.
Verifico que esse N funciona:
\omega_{0} N = \frac{7}{50}\pi \cdot 100 = 7\cdot 2\pi = 14\pi = 2\pi\cdot 7,
logo \cos\!\big(\omega_{0}(n+100)\big)=\cos\!\big(\omega_{0} n + 14\pi\big)=\cos\!\big(\omega_{0} n\big) para todo n.
Também é fácil ver que não existe N inteiro positivo menor que 100 que satisfaça a condição: se tentarmos divisores menores, por exemplo N=50, temos \omega_{0}N=(7/50)\pi\cdot50=7\pi, e \cos(\theta+7\pi)=-\cos\theta\neq\cos\theta em geral. Portanto 100 é realmente o período fundamental.

Passo 6

Resumo intuitivo e dica para prova: sempre escreva \omega_{0} como \omega_{0}=2\pi\cdot\frac{p}{q} com \gcd(p,q)=1. Então o período fundamental é N=q. No nosso caso \omega_{0}=2\pi\cdot\frac{7}{100} com p=7, q=100 e \gcd(7,100)=1, logo N=100.

Resposta

A sequência é periódica.
Período fundamental: N=100.

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