Considere o sinal
\mathrm{x}(\mathrm{t})=\operatorname{sen}(2 \pi \mathrm{ft}), \mathrm{t} \in \mathbf{R}
Plotar x(t) após a aplicação das seguintes transformações de range de sinal \rho: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} :
\rho(x)=\operatorname{sinal}(x), x \in \mathbf{R}, onde:
\operatorname{sinal}(x)=\left\{ \begin{array}{ccc} 1 & \text { para } & x>0 \\\\ 0 & \text { para } & x=0 \\\\ -1 & \text { para } & x<0 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal
x(t)=\sin\bigl(2\pi f\,t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e pede para aplicar a transformação de amplitude
\rho(x)=\operatorname{sign}(x),
onde
\operatorname{sign}(x)= \begin{cases} 1, & x>0,\\\\ 0, & x=0,\\\\ -1, & x<0. \end{cases}
O conteúdo aqui é a aplicação da função sinalum à saída de um senoide, gerando uma onda quadrada com valores em \{-1,0,1\}.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente o sinal transformado:
y(t)=\rho\bigl(x(t)\bigr) =\operatorname{sign}\bigl(\sin(2\pi f\,t)\bigr).
Para entender y(t), basta ver o sinal de \sin(2\pi f\,t): ele é positivo, negativo ou zero.

Passo 3

Identificamos o período da senoide:
T=\frac{1}{f}.
Nos instantes
t=kT,\quad k\in\mathbb{Z},
temos \sin(2\pi f\,t)=0, logo
y(kT)=0.
Entre esses zeros, em cada intervalo de comprimento T, a senoide é positiva para
kT < t < kT+\frac{T}{2}
e negativa para
kT+\frac{T}{2} < t < (k+1)T.

Passo 4

Portanto, o sinal transformado é
y(t)= \begin{cases} 1, & kT < t < kT+\tfrac{T}{2},\\\\ 0, & t = kT,\\\\ -1, & kT+\tfrac{T}{2} < t < (k+1)T, \end{cases} \quad k\in\mathbb{Z}.
Isso corresponde a uma onda quadrada periódica de amplitude +1 e -1, com valor 0 exatamente nos cruzamentos de \sin(2\pi f\,t).

Resposta

O gráfico de y(t)=\operatorname{sign}[\sin(2\pi f\,t)] é uma onda quadrada de período T=1/f, que vale +1 em cada intervalo \bigl(kT,\;kT+\tfrac{T}{2}\bigr), vale -1 em cada intervalo \bigl(kT+\tfrac{T}{2},\;(k+1)T\bigr) e vale 0 nos instantes t=kT.

Exercícios relacionados