Considere o sinal
\mathrm{x}(\mathrm{t})=\operatorname{sen}(2 \pi \mathrm{ft}), \mathrm{t} \in \mathbf{R}
Plotar x(t) após a aplicação das seguintes transformações de range de sinal \rho: \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} :
\rho(x)=x^{2}, x \in \mathbf{R}

Passo 1

O enunciado nos dá o sinal
x(t)=\sin\bigl(2\pi f t\bigr),\quad t\in\mathbb{R},
e pede para aplicar a transformação de amplitude (range)
\rho(x)=x^2.
O que faremos é definir o novo sinal
y(t)=\rho\bigl(x(t)\bigr)=\bigl[\sin(2\pi f t)\bigr]^2
e depois esboçar sua forma de onda.

Passo 2

Escrevemos diretamente
y(t)=\bigl[\sin(2\pi f t)\bigr]^2.
Isso significa que, ponto a ponto, elevamos ao quadrado a amplitude de x(t).

Passo 3

Para entender melhor a forma da curva, usamos a identidade trigonométrica
\sin^2\theta = \frac{1-\cos(2\theta)}{2}.
Tomando \theta=2\pi f t, obtemos
y(t)=\sin^2(2\pi f t) = \frac{1-\cos\bigl(2\cdot2\pi f t\bigr)}{2} = \frac{1-\cos(4\pi f t)}{2}.

Passo 4

Da expressão \displaystyle y(t)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(4\pi f t) vemos que
1. Há um componente DC de valor \tfrac12.
2. Há um cosseno de amplitude \tfrac12 e frequência 2f.
Logo a amplitude de y(t) varia entre
\min y(t)=0,\quad \max y(t)=1.

Passo 5

O termo \cos(4\pi f t) tem período T dado por
4\pi f\,(t+T) = 4\pi f\,t + 2\pi \quad\Longrightarrow\quad T = \frac{1}{2f}.
Portanto o período de y(t) é T=1/(2f), que é metade do período 1/f do seno original.

Passo 6

Para esboçar y(t):
  • Em t=k/(2f), \cos(4\pi f t)=\cos(2\pi k)=1 e y=0.
  • Em t=(2k+1)/(4f), \cos(4\pi f t)=\cos\bigl(\pi(2k+1)\bigr)=-1 e y=1.
    O gráfico é uma onda suave, zero em intervalos regulares e pico em 1 no ponto médio, repetindo-se a cada 1/(2f).

Resposta

O sinal transformado é
y(t)=\sin^2\bigl(2\pi f t\bigr) = \frac{1-\cos(4\pi f t)}{2},
com amplitude variando de 0 a 1 e período T=1/(2f).

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