Expressar o sinal \mathbf{1}(\mathrm{n}) como função do pulso discreto \Delta(\mathrm{n}) e vice-versa.

Passo 1

O enunciado pede para relacionar o sinal de passo discreto \mathbf{1}(n) e o pulso discreto \Delta(n). O conteúdo principal é o fato de que o passo pode ser visto como soma cumulativa de impulsos e que o impulso surge como diferença finita do passo.

Passo 2

Pela definição, \Delta(n) vale 1 apenas em n=0 e zero caso contrário. Se somarmos todos os valores de \Delta(k) desde k=-\infty até k=n, em n<0 não há nenhum pulso e a soma é zero, e para n\ge0 há exatamente um pulso em k=0, de modo que a soma passa a valer 1. Assim obtemos
\mathbf{1}(n) \;=\;\sum_{k=-\infty}^{n}\Delta(k).

Passo 3

Num contexto causal (onde a convenção é que \mathbf{1}(n)=0 para n<0), podemos iniciar a soma em k=0 sem alterar o resultado:
\mathbf{1}(n) \;=\;\sum_{k=0}^{n}\Delta(k),\quad n\ge0,\quad\mathbf{1}(n)=0\text{ para }n<0.

Passo 4

Para obter \Delta(n) a partir de \mathbf{1}(n), basta notar que o passo salta de 0 para 1 em n=0 e é constante em outros instantes. Logo a diferença finita
\mathbf{1}(n)-\mathbf{1}(n-1)
é zero para n\neq0 e vale 1 em n=0, exatamente definindo \Delta(n).

Resposta

\mathbf{1}(n) = \sum_{k=-\infty}^{n}\Delta(k) \qquad\text{e}\qquad \Delta(n) = \mathbf{1}(n) - \mathbf{1}(n-1).

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