Dar um exemplo de um sinal contínuo onde a amostragem seguido de uma interpolação por degrau exatamente recupera o sinal contínuo original. Ilustrar outro exemplo mas agora utilizando-se uma interpolação linear.
Passo 1
O enunciado pede dois exemplos de sinais contínuos que, após amostragem com período T e posterior interpolação, sejam exatamente recuperados. No primeiro caso vamos usar interpolação por degrau (zero-order hold), que só recupera exatamente sinais que são constantes em cada intervalo de amostragem. No segundo caso usamos interpolação linear, que só recupera exatamente sinais que são lineares em cada intervalo de amostragem.
Passo 2
Para ver por que o zero-order hold só funciona perfeitamente quando o sinal é constante em cada intervalo, considere um sinal genérico x(t) e amostras
Logo, se x(t) já for constante em cada [nT,(n+1)T), então x_{\rm ZOH}(t)=x(t) em todo t.
Passo 3
Um exemplo concreto: fixe T=1\) e defina
\[x(t)= \begin{cases} 2,&0\le t<1,\\\\ -1,&1\le t<2,\\\\ 3,&2\le t<3. \end{cases}
Nesse caso as amostras são x[0]=2\], \(x[1]=-1, x[2]=3 e a interpolação por degrau produz exatamente x(t) em [0,3).
Passo 4
Para a interpolação linear consideramos amostras x[n]=x(nT) e montamos, em cada intervalo [nT,(n+1)T], a reta que une (nT,x[n]) a ((n+1)T,x[n+1]). Essa reta coincide com x(t) em todo o intervalo se e somente se x(t) for linear em [nT,(n+1)T].
Passo 5
Um exemplo simples é um sinal do tipo
x(t)=a\,t+b.
Escolhendo a=2 e b=1 e T arbitrário, as amostras são x[n]=2nT+1 e a interpolação linear reconstrói