Considere o sinal x(t)=t^{2} e^{-t} \sin (2 t) u(t).
(a) Determine X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}.
(b) Calcule o valor da integral
\int_{0}^{+\infty} t^{2} e^{-t} \sin (2 t) d t

Passo 1

O enunciado define
x(t)=t^{2}e^{-t}\sin(2t)\,u(t)
e pede:
(a) a transformada de Laplace X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\};
(b) o valor de
\int_{0}^{+\infty}t^{2}e^{-t}\sin(2t)\,dt.
Vamos usar a propriedade de derivada da transformada de Laplace e depois observar que X(0) é exatamente essa integral.

Passo 2

Primeiro, calculemos
F(s)\;=\;\mathcal{L}\{e^{-t}\sin(2t)\,u(t)\}
pela fórmula padrão
\mathcal{L}\{e^{-at}\sin(bt)\}=\frac{b}{(s+a)^{2}+b^{2}},
com a=1 e b=2. Logo, para \Re(s)>-1,
F(s)=\frac{2}{(s+1)^{2}+4}.

Passo 3

Usamos a propriedade
\mathcal{L}\{t^{2}f(t)\}=(-1)^{2}\,\frac{d^{2}}{ds^{2}}\bigl[\mathcal{L}\{f(t)\}\bigr] =\frac{d^{2}}{ds^{2}}F(s).
Portanto
X(s)=\mathcal{L}\{t^{2}e^{-t}\sin(2t)\,u(t)\} =\frac{d^{2}}{ds^{2}}\!\Bigl[\frac{2}{(s+1)^{2}+4}\Bigr].

Passo 4

Calculemos a primeira derivada. Seja D=s+1.
F(s)=\frac{2}{D^{2}+4} \quad\Longrightarrow\quad F'(s) =-4\,\frac{D}{(D^{2}+4)^{2}}\,.

Passo 5

Agora a segunda derivada:
F''(s) =\frac{d}{ds}\Bigl[-4\,\frac{D}{(D^{2}+4)^{2}}\Bigr] =-4\frac{(D^{2}+4)^{2}-2D\cdot2(D^{2}+4)}{(D^{2}+4)^{4}} =\frac{12D^{2}-16}{(D^{2}+4)^{3}}.
Voltando a D=s+1,
\boxed{X(s) =\frac{12(s+1)^{2}-16}{\bigl[(s+1)^{2}+4\bigr]^{3}}\,.}

Passo 6

Para a integral, note que
X(0)=\int_{0}^{\infty}t^{2}e^{-t}\sin(2t)\,dt.
Logo,
X(0)=\frac{12(0+1)^{2}-16}{\bigl[(0+1)^{2}+4\bigr]^{3}} =\frac{12-16}{5^{3}} =-\frac{4}{125}.

Resposta

(a) \displaystyle X(s)=\frac{12(s+1)^{2}-16}{\bigl[(s+1)^{2}+4\bigr]^{3}}.
(b) \displaystyle \int_{0}^{+\infty}t^{2}e^{-t}\sin(2t)\,dt=-\tfrac{4}{125}.

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