Determine a transformada de Laplace de
x(t)=\operatorname{sinal}(t)=\left\{\begin{array}{cc} 1, & t>0 \\ -1, & t<0 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
x(t)=\operatorname{sinal}(t)= \begin{cases} 1,&t>0,\\\\ -1,&t<0. \end{cases}
O que vamos usar é a definição de transformada de Laplace unilateral (a mais comum em engenharia), que é
X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\}=\int_{0}^{\infty}x(t)\,e^{-s t}\,dt,
válida para valores de s que façam a integral convergir.

Passo 2

Note que na integral de 0 a \infty só contamos com o valor de x(t) para t>0. Como x(t)=1 para t>0, temos
X(s)=\int_{0}^{\infty}1\cdot e^{-s t}\,dt.

Passo 3

Para \Re(s)>0, a integral converge e podemos calcular:
\int_{0}^{\infty}e^{-s t}\,dt =\Bigl[-\frac{1}{s}e^{-s t}\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{1}{s}\,.

Passo 4

Portanto a transformada de Laplace unilateral de x(t)=\operatorname{sinal}(t) é
X(s)=\frac{1}{s},
com região de convergência \Re(s)>0.

Resposta

X(s)=\frac{1}{s},\quad \Re(s)>0.

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