Questão 12: Utilize integral dupla para determinar a área da região.
A região dentro do círculo
e fora do círculo
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A região dentro do círculo
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente encontrar a área da região que está dentro do círculo definido por $ r = 4 \sin(\theta) $ e fora do círculo $ r = 2 $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo que envolve integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e usar a fórmula da área em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as duas curvas. O círculo $ r = 4 \sin(\theta) $ é um círculo com raio 2 e centro no ponto $ (0, 2) $ no sistema polar. Já o círculo $ r = 2 $ é um círculo com raio 2 centrado na origem. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites de integração.
Passo 3
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Resolvendo para $ \theta $:
Isso nos dá $ \theta = \frac{\pi}{6} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{6} $.
Passo 4
Agora que sabemos os ângulos onde as curvas se intersectam, podemos definir os limites de $ \theta $ de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{5\pi}{6} $. Para cada valor de $ \theta $ nesse intervalo, o raio varia de $ r = 2 $ (o círculo menor) até $ r = 4 \sin(\theta) $ (o círculo maior).
Passo 5
A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
Aqui, $ \theta_1 = \frac{\pi}{6} $, $ \theta_2 = \frac{5\pi}{6} $, $ r_{min} = 2 $ e $ r_{max} = 4 \sin(\theta) $.
Passo 6
Vamos primeiro resolver a parte da integral em relação a $ r $:
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral em relação a $ \theta $:
Vamos resolver essa integral termo a termo.
Passo 8
Primeiro, a integral de $ 8 \sin^2(\theta) $:
E a integral de $ -2 $:
Juntando tudo:
Passo 9
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
Simplificando:
Passo 10
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 11
Agora, simplificamos:
Resposta
A área da região é $ \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3} $ unidades de área.