Questão 12: Utilize integral dupla para determinar a área da região.
A região dentro do círculo r=4 sen(theta) e fora do círculo r=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede pra gente encontrar a área da região que está dentro do círculo definido por $ r = 4 \sin(\theta) $ e fora do círculo $ r = 2 $. Isso faz parte do conteúdo de cálculo que envolve integrais duplas em coordenadas polares. Para resolver isso, vamos precisar entender como configurar os limites de integração e usar a fórmula da área em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as duas curvas. O círculo $ r = 4 \sin(\theta) $ é um círculo com raio 2 e centro no ponto $ (0, 2) $ no sistema polar. Já o círculo $ r = 2 $ é um círculo com raio 2 centrado na origem. Precisamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam para saber os limites de integração.

Passo 3

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
4 sin(theta) = 2
Resolvendo para $ \theta $:
theta
Isso nos dá $ \theta = \frac{\pi}{6} $ e $ \theta = \frac{5\pi}{6} $.

Passo 4

Agora que sabemos os ângulos onde as curvas se intersectam, podemos definir os limites de $ \theta $ de $ \frac{\pi}{6} $ a $ \frac{5\pi}{6} $. Para cada valor de $ \theta $ nesse intervalo, o raio varia de $ r = 2 $ (o círculo menor) até $ r = 4 \sin(\theta) $ (o círculo maior).

Passo 5

A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
A = integraltheta1^theta2 integralrmin^rmax r , dr , dtheta
Aqui, $ \theta_1 = \frac{\pi}{6} $, $ \theta_2 = \frac{5\pi}{6} $, $ r_{min} = 2 $ e $ r_{max} = 4 \sin(\theta) $.

Passo 6

Vamos primeiro resolver a parte da integral em relação a $ r $:
r

Passo 7

Agora, substituímos esse resultado na integral em relação a $ \theta $:
theta
Vamos resolver essa integral termo a termo.

Passo 8

Primeiro, a integral de $ 8 \sin^2(\theta) $:
8 sin^2(theta)
E a integral de $ -2 $:
8 integral sin^2(theta) , dtheta = 8 ( theta2 - sin(2theta)4 ) = 4theta - 2 sin(2theta)
Juntando tudo:
-2

Passo 9

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração:
A = ( 2 cdot 5pi6 - 2 sin(2 cdot 5pi6) ) - ( 2 cdot pi6 - 2 sin(2 cdot pi6) )
Simplificando:
A = ( 5pi3 - 2 sin(5pi3) ) - ( pi3 - 2 sin(pi3) )

Passo 10

Sabemos que:
sin(5pi3) = -raiz32 e sin(pi3) = raiz32
Substituindo:
A = ( 5pi3 - 2 (-raiz32) ) - ( pi3 - 2 cdot raiz32 ) = ( 5pi3 + raiz3 ) - ( pi3 - raiz3 )

Passo 11

Agora, simplificamos:
A = 5pi3 + raiz3 - pi3 + raiz3 = 4pi3 + 2raiz3

Resposta

A área da região é $ \frac{4\pi}{3} + 2\sqrt{3} $ unidades de área.

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