Considere o sistema:
\begin{aligned} \dot{q}(t) & =\left[\begin{array}{cc} -1 & 0 \\\\ 0 & -3 \end{array}\right] q(t)+\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \end{array}\right] x(t) \\\ y(t) & =q_{1}(t)+q_{2}(t) \end{aligned}
Determine a saída do mesmo se x(t)=e^{-7 t} u(t), q_{1}(0)=5 e q_{2}(0)=1.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com estado q(t)=\begin{bmatrix}q_{1}(t)\\[4pt]q_{2}(t)\end{bmatrix}:
\dot{q}(t)=\begin{bmatrix}-1 & 0\\[4pt]0 & -3\end{bmatrix}q(t)+\begin{bmatrix}1\\[4pt]0\end{bmatrix}x(t), \qquad y(t)=q_{1}(t)+q_{2}(t).
Dados fornecidos:
  • x(t)=e^{-7t}u(t) (ou seja, para t\ge0 temos x(t)=e^{-7t});
  • condições iniciais q_{1}(0)=5 e q_{2}(0)=1.
    O que o enunciado pede: determinar a saída y(t) do sistema (presumivelmente para t\ge0).]

Passo 2

Observação útil antes de resolver: a matriz de dinâmica é diagonal \begin{bmatrix}-1&0\\[4pt]0&-3\end{bmatrix}, então o sistema se separa em duas equações escalares independentes. Escrevendo componente a componente (para t\ge0):
\dot{q}_{1}(t)=-1\cdot q_{1}(t)+1\cdot x(t)= -q_{1}(t)+e^{-7t},
\dot{q}_{2}(t)=-3\cdot q_{2}(t)+0\cdot x(t)= -3q_{2}(t).
A estratégia: resolver essas duas EDOs escalares com as condições iniciais e depois somar para obter y(t)=q_{1}(t)+q_{2}(t).]

Passo 3

Resolver q_{2}: é uma EDO homogênea de ordem 1
\dot{q}_{2}(t)=-3q_{2}(t),\qquad q_{2}(0)=1.
A solução geral é exponencial com taxa -3:
q_{2}(t)=C_{2}e^{-3t}.
Impondo q_{2}(0)=1 C_{2}=1. Portanto
q_{2}(t)=e^{-3t}.

Passo 4

Resolver q_{1}: temos a EDO não-homogênea
\dot{q}_{1}(t)+q_{1}(t)=e^{-7t},\qquad q_{1}(0)=5.
Vou usar o método do fator integrante (explico rapidinho o porquê): para uma equação da forma \dot{y}+a y = r(t), multiplica-se por \mu(t)=e^{\int a\,dt} para escrever o lado esquerdo como derivada de \mu(t)y(t). Aqui a=1, logo \mu(t)=e^{t}.
Multiplicando por \mu(t)=e^{t}:
e^{t}\dot{q}_{1}(t)+e^{t}q_{1}(t)=e^{t}e^{-7t}=e^{-6t}.
O lado esquerdo é a derivada:
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}q_{1}(t)\bigr)=e^{-6t}.
Integramos em t:
e^{t}q_{1}(t)=\int e^{-6t}\,dt = -\frac{1}{6}e^{-6t}+C.
Isolando q_{1}(t):
q_{1}(t) = -\frac{1}{6}e^{-7t} + C e^{-t}.
Aplicando a condição inicial q_{1}(0)=5:
5 = q_{1}(0) = -\frac{1}{6} + C \quad\Rightarrow\quad C = 5+\frac{1}{6}=\frac{31}{6}.
Logo
q_{1}(t)=\frac{31}{6}e^{-t}-\frac{1}{6}e^{-7t}.

Passo 5

Agora somo as componentes para obter a saída:
y(t)=q_{1}(t)+q_{2}(t)=\left(\frac{31}{6}e^{-t}-\frac{1}{6}e^{-7t}\right)+e^{-3t}.
É bom verificar o valor inicial: para t=0 obtém-se y(0)=\dfrac{31}{6}-\dfrac{1}{6}+1=5+1=6, que coincide com q_{1}(0)+q_{2}(0)=5+1. Tudo consistente.

Resposta

y(t)=\dfrac{31}{6}e^{-t}+e^{-3t}-\dfrac{1}{6}e^{-7t},\quad t\ge0

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