D3) Derivada de constante vezes uma função
y=c \cdot f(x) \Longrightarrow y^{\prime}=c \cdot f^{\prime}(x)

Passo 1

O enunciado dá a função y = c \cdot f(x) e pede para mostrar que a derivada satisfaz
y' = c \cdot f'(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • c é uma constante (não depende de x).
  • f é uma função diferenciável no ponto considerado (ou em um intervalo), isto é, f'(x) existe.
  • O objetivo é provar, passo a passo, que multiplicar uma função por uma constante multiplica sua derivada pela mesma constante.

Passo 2

Lembrar a definição de derivada (a base da prova). A derivada de y em x é definida por
y' = \lim_{h\to 0} \frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
Expliquei isso porque a prova vai usar exatamente essa definição: vamos aplicar a definição ao caso y(x)=c\cdot f(x).

Passo 3

Aplicar a definição ao caso dado, substituindo y(x)=c\cdot f(x):
y' = \lim_{h\to 0} \frac{c\cdot f(x+h) - c\cdot f(x)}{h}.
Aqui fiz apenas a troca y(x+h)=c f(x+h) e y(x)=c f(x).

Passo 4

Fatorar a constante c no numerador (álgebra elementar):
\frac{c\cdot f(x+h) - c\cdot f(x)}{h} = \frac{c\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)}{h}.
Depois reescrevo dividindo por h:
\frac{c\bigl(f(x+h)-f(x)\bigr)}{h} = c \cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Justificativa: é permitido fatorar um fator comum no numerador e passar para fora da fração.

Passo 5

Trocar o limite e o fator constante (propriedade da linearidade do limite): se c é constante e L=\lim_{h\to0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} existe, então
\lim_{h\to 0} c \cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = c \cdot \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Isto vale porque multiplicar por uma constante é uma operação contínua e preserva limites.

Passo 6

Reconhecer que o limite que ficou é exatamente a derivada de f em x:
\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = f'(x).
Portanto, combinando os passos anteriores:
y' = c \cdot f'(x).
Isso conclui a prova rigorosa usando a definição de derivada.

Passo 7

Comentários intuitivos (por que isso faz sentido). Se c é uma constante que escala os valores de f (por exemplo, dobra-os quando c=2), então as variações de y ao mover x também são dobradas; a inclinação (derivada) é uma medida da variação por unidade de x, logo é multiplicada por c. Geometricamente: multiplicar a função por c alonga/comprime o gráfico na direção vertical, multiplicando todos os declives por c.

Passo 8

Exemplo 1 (passo a passo para praticar). Tome f(x)=x^2 e c=5. Primeiro calcule f'(x):
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^2}{h}=\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Agora aplique a regra da constante:
y=5x^2 \Longrightarrow y'=5\cdot f'(x)=5\cdot 2x=10x.
Se fizesse a prova direto sobre y daria o mesmo resultado.

Passo 9

Exemplo 2 (casos simples): se f(x)=\sin x e c=3, então
y=3\sin x \Longrightarrow y'=3\cos x.
Se c=0, então y=0 e a derivada é y'=0, compatível com a regra.

Passo 10

Atenção importante (quando a regra NÃO vale): se o coeficiente não for constante, isto é, se c depender de x (escrever c(x)), então não é possível simplesmente puxar para fora; nesse caso usa-se a regra do produto:
\text{Se }y=c(x)\,f(x)\text{ então }y'=c'(x)f(x)+c(x)f'(x).ã
Exemplo de confusão típica: para y=x\cdot x^2 = x^3, a derivada correta é 3x^2. Aplicar erroneamente a “regra da constante” pensando que x é constante levaria a 2x^2, que está errado. Por isso é crucial lembrar que c deve ser constante.

Passo 11

Resumo final e dica de prova na hora da prova: para provar que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada, aplique a definição do limite da derivada, fatorize a constante e use a propriedade de que constantes saem de limites. Na prática, decorar a regra é suficiente, mas saber a prova garante que entende por que ela funciona.

Resposta

y'=c\cdot f'(x)

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