D3) Derivada de constante vezes uma função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que a derivada satisfaz
Informações relevantes fornecidas:
-
é uma constante (não depende de ). -
é uma função diferenciável no ponto considerado (ou em um intervalo), isto é, existe. - O objetivo é provar, passo a passo, que multiplicar uma função por uma constante multiplica sua derivada pela mesma constante.
Passo 2
Lembrar a definição de derivada (a base da prova). A derivada de
em
é definida por
Expliquei isso porque a prova vai usar exatamente essa definição: vamos aplicar a definição ao caso
.
Passo 3
Aplicar a definição ao caso dado, substituindo
:
Aqui fiz apenas a troca
e
.
Passo 4
Fatorar a constante
no numerador (álgebra elementar):
Depois reescrevo dividindo por
:
Justificativa: é permitido fatorar um fator comum no numerador e passar para fora da fração.
Passo 5
Trocar o limite e o fator constante (propriedade da linearidade do limite): se
é constante e
existe, então
Isto vale porque multiplicar por uma constante é uma operação contínua e preserva limites.
Passo 6
Reconhecer que o limite que ficou é exatamente a derivada de
em
:
Portanto, combinando os passos anteriores:
Isso conclui a prova rigorosa usando a definição de derivada.
Passo 7
Comentários intuitivos (por que isso faz sentido). Se
é uma constante que escala os valores de
(por exemplo, dobra-os quando
), então as variações de
ao mover
também são dobradas; a inclinação (derivada) é uma medida da variação por unidade de
, logo é multiplicada por
. Geometricamente: multiplicar a função por
alonga/comprime o gráfico na direção vertical, multiplicando todos os declives por
.
Passo 8
Exemplo 1 (passo a passo para praticar). Tome
e
. Primeiro calcule
:
Agora aplique a regra da constante:
Se fizesse a prova direto sobre
daria o mesmo resultado.
Passo 9
Exemplo 2 (casos simples): se
e
, então
Se
, então
e a derivada é
, compatível com a regra.
Passo 10
Atenção importante (quando a regra NÃO vale): se o coeficiente não for constante, isto é, se
depender de
(escrever
), então não é possível simplesmente puxar para fora; nesse caso usa-se a regra do produto:
Exemplo de confusão típica: para
, a derivada correta é
. Aplicar erroneamente a “regra da constante” pensando que
é constante levaria a
, que está errado. Por isso é crucial lembrar que
deve ser constante.
Passo 11
Resumo final e dica de prova na hora da prova: para provar que a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada, aplique a definição do limite da derivada, fatorize a constante e use a propriedade de que constantes saem de limites. Na prática, decorar a regra é suficiente, mas saber a prova garante que entende por que ela funciona.