Encontre constantes
tais que
seja analítica.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar constantes
tais que a função
seja analítica. As informações dadas são:
seja analítica. As informações dadas são:
- A variável complexa é
, com . - A parte real de
é . - A parte imaginária de
é . - Os coeficientes
são constantes reais desconhecidas que precisamos determinar.
Passo 2
Para que
seja analítica (holomorfa) numa região do plano complexo, uma condição necessária e suficiente quando as derivadas parciais existem e são contínuas é que as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas. Vou explicar isso de forma simples e direta.
Se escrevermos
, onde
e
são funções reais de
, as equações de Cauchy–Riemann são:
Aqui
denota a derivada parcial de
em relação a
(mantendo
fixo), e
é a derivada parcial em relação a
. O mesmo vale para
e
. Intuitivamente, essas equações alinhadas com a existência da derivada complexa garantem que a variação de
ao aproximar
por direções diferentes no plano complexo seja consistente.
No nosso caso
e
são polinômios em
, então as derivadas parciais existem e são contínuas — basta impor as equações de Cauchy–Riemann para achar
.
Passo 3
Identifico
e
:
Agora calculo as derivadas parciais termo a termo (mostrando cada passo).
Derivadas de
:
Derivadas de
:
Passo 4
Aplico a primeira equação de Cauchy–Riemann
. Substituindo as expressões:
Isto deve valer para todos
. Logo igualamos coeficientes de
e de
em ambos os lados:
- Coeficiente de
: . Portanto
- Coeficiente de
: . Portanto
Passo 5
Agora uso a segunda equação de Cauchy–Riemann
. Substituindo:
Novamente isso vale para todos
, então igualamos coeficientes separadamente.
Coeficiente de
:
Já encontramos
, portanto
Coeficiente de
:
Já encontramos
, então
Passo 6
Temos então os quatro coeficientes determinados:
Como verificação rápida, substituindo esses valores nas derivadas:
As equações de Cauchy–Riemann ficam satisfeitas para todos
. Como
são polinômios (derivadas contínuas), isso garante que
é analítica em todo o plano.