Encontre constantes a, b, c, d tais que f(z)=x^{2}+a x y+b y^{2}+i\left(c x^{2}+d x y+y^{2}\right) seja analítica.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar constantes a,b,c,d tais que a função
f(z)=x^{2}+a x y+b y^{2}+i\left(c x^{2}+d x y+y^{2}\right)
seja analítica. As informações dadas são:
  • A variável complexa é z, com z=x+iy.
  • A parte real de f é x^{2}+a x y+b y^{2}.
  • A parte imaginária de f é c x^{2}+d x y+y^{2}.
  • Os coeficientes a,b,c,d são constantes reais desconhecidas que precisamos determinar.

Passo 2

Para que f seja analítica (holomorfa) numa região do plano complexo, uma condição necessária e suficiente quando as derivadas parciais existem e são contínuas é que as equações de Cauchy–Riemann sejam satisfeitas. Vou explicar isso de forma simples e direta.
Se escrevermos f(z)=u(x,y)+i\,v(x,y), onde u e v são funções reais de x,y, as equações de Cauchy–Riemann são:
u_x = v_y
u_y = -v_x
Aqui u_x denota a derivada parcial de u em relação a x (mantendo y fixo), e u_y é a derivada parcial em relação a y. O mesmo vale para v_x e v_y. Intuitivamente, essas equações alinhadas com a existência da derivada complexa garantem que a variação de f ao aproximar z por direções diferentes no plano complexo seja consistente.
No nosso caso u e v são polinômios em x,y, então as derivadas parciais existem e são contínuas — basta impor as equações de Cauchy–Riemann para achar a,b,c,d.

Passo 3

Identifico u e v:
u(x,y)=x^{2}+a x y+b y^{2}, \qquad v(x,y)=c x^{2}+d x y+y^{2}.
Agora calculo as derivadas parciais termo a termo (mostrando cada passo).
Derivadas de u:
u_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+a x y+b y^{2}\big)=2x + a y,
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+a x y+b y^{2}\big)=a x + 2b y.
Derivadas de v:
v_x=\frac{\partial}{\partial x}\big(c x^{2}+d x y+y^{2}\big)=2c x + d y,
v_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(c x^{2}+d x y+y^{2}\big)=d x + 2 y.

Passo 4

Aplico a primeira equação de Cauchy–Riemann u_x=v_y. Substituindo as expressões:
2x + a y = d x + 2 y.
Isto deve valer para todos x,y. Logo igualamos coeficientes de x e de y em ambos os lados:
  • Coeficiente de x: 2 = d. Portanto
d = 2.
  • Coeficiente de y: a = 2. Portanto
a = 2.

Passo 5

Agora uso a segunda equação de Cauchy–Riemann u_y = -v_x. Substituindo:
a x + 2b y = -\big(2c x + d y\big).
Novamente isso vale para todos x,y, então igualamos coeficientes separadamente.
Coeficiente de x:
a = -2c.
Já encontramos a=2, portanto
2 = -2c \quad\Rightarrow\quad c = -1.
Coeficiente de y:
2b = -d.
Já encontramos d=2, então
2b = -2 \quad\Rightarrow\quad b = -1.

Passo 6

Temos então os quatro coeficientes determinados:
a=2,\qquad b=-1,\qquad c=-1,\qquad d=2.
Como verificação rápida, substituindo esses valores nas derivadas:
u_x=2x+2y,\quad v_y=2x+2y \quad(\text{iguais}),
u_y=2x-2y,\quad -v_x=-( -2x+2y)=2x-2y \quad(\text{iguais}).
As equações de Cauchy–Riemann ficam satisfeitas para todos x,y. Como u,v são polinômios (derivadas contínuas), isso garante que f é analítica em todo o plano.

Resposta

a=2
b=-1
c=-1
d=2

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