D2) Derivada da função potência
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada
.
Informações claras fornecidas:
Informações claras fornecidas:
-
é a variável independente. -
é uma constante (parâmetro) — o enunciado não especifica se é inteiro, racional ou real, então vamos tratar os casos relevantes. - O objetivo é obter uma fórmula que dê
em função de e .
Passo 2
Definição de derivada que vamos usar (essa é a «ferramenta básica»): a derivada de
em um ponto
é o limite
quando esse limite existe.
Explicando devagar: isso mede a variação média de em torno de
quando o incremento
fica muito pequeno. Na prova, quase sempre convém partir dessa definição quando for possível justificar o limite de forma direta.
Explicando devagar: isso mede a variação média de
Passo 3
Caso
seja um inteiro natural (
). Usamos o teorema binomial para expandir
:
Subtraindo
e dividindo por
obtemos a diferença quociente:
Quando
, todos os termos com
contêm fator
e vão a zero. O único termo que permanece é o de
:
Como
, segue que para
Exemplo concreto para fixar: se
,
. Dividindo por
e tomando
sobra
.
Passo 4
Extensão ao caso
inteiro negativo ou zero.
- Se
, e portanto , que é compatível com a fórmula . - Se
com , então . Pode-se derivar usando a regra do quociente ou observar que a fórmula obtida no passo anterior continua válida (aplicando-a ao monômio e usando a cadeia/álgebra dos expoentes). Por exemplo, para obtém-se . Assim, para todo a fórmula é válida em .
Passo 5
Caso geral:
real (
). Aqui é mais prático usar log-diferenciação (método muito útil em prova). Primeiro note que para escrever
é necessário
. Para
podemos reescrever
Agora aplicamos a regra da cadeia e a derivada da exponencial: se
então
. Calculamos
:
Portanto
Mas
, assim
Exemplo para fixar: se
(raiz quadrada), obtemos
, que é o que já se conhece.
Passo 6
Discussão de domínio e hipóteses (importante para prova):
- Para
real não inteiro, a expressão costuma ser definida naturalmente apenas para (quando usada a representação ). Então a dedução do passo 5 exige . - Para
racional com denominador ímpar (por exemplo ), pode-se estender a definição de a usando raízes ímpares e a fórmula da derivada continua válida onde a função estiver bem definida. - Para
(inteiros), a fórmula vale para todo (exceto quando negativo), conforme explicado no passo 4.
Resumo: a fórmula é válida sempre queesteja bem definida e diferenciável no ponto considerado.
Passo 7
Resumo final didático: o resultado pode ser obtido pelo caminho mais direto (binomial) quando
é inteiro, e pelo caminho da exponencial + logaritmo (log-diferenciação e regra da cadeia) quando
é real. Em ambos os casos o termo dominante que sobrevive ao limite é o que dá o fator
e reduz o expoente em 1, produzindo a regra geral.