D2) Derivada da função potência

y=x^{p} \Rightarrow y^{\prime}=p \cdot x^{p-1}

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{p} e pede a derivada y^{\prime}.
Informações claras fornecidas:
  • x é a variável independente.
  • p é uma constante (parâmetro) — o enunciado não especifica se p é inteiro, racional ou real, então vamos tratar os casos relevantes.
  • O objetivo é obter uma fórmula que dê y^{\prime} em função de x e p.

Passo 2

Definição de derivada que vamos usar (essa é a «ferramenta básica»): a derivada de y=f(x) em um ponto x é o limite
y^{\prime}=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},
quando esse limite existe.
Explicando devagar: isso mede a variação média de f em torno de x quando o incremento h fica muito pequeno. Na prova, quase sempre convém partir dessa definição quando for possível justificar o limite de forma direta.

Passo 3

Caso p seja um inteiro natural ( p\in\mathbb{N}). Usamos o teorema binomial para expandir (x+h)^{p}:
(x+h)^{p}=\sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k}x^{\,p-k}h^{k}.
Subtraindo x^{p} e dividindo por h obtemos a diferença quociente:
\frac{(x+h)^{p}-x^{p}}{h}=\frac{1}{h}\sum_{k=1}^{p}\binom{p}{k}x^{\,p-k}h^{k} =\sum_{k=1}^{p}\binom{p}{k}x^{\,p-k}h^{k-1}.
Quando h\to0, todos os termos com k\ge2 contêm fator h^{k-1} e vão a zero. O único termo que permanece é o de k=1:
\lim_{h\to0}\sum_{k=1}^{p}\binom{p}{k}x^{\,p-k}h^{k-1} =\binom{p}{1}x^{p-1}.
Como \binom{p}{1}=p, segue que para p\in\mathbb{N}
y^{\prime}=p\cdot x^{p-1}.
Exemplo concreto para fixar: se p=3, (x+h)^{3}=x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}. Dividindo por h e tomando h\to0 sobra 3x^{2}.

Passo 4

Extensão ao caso p inteiro negativo ou zero.
  • Se p=0, y=x^{0}=1 e portanto y^{\prime}=0, que é compatível com a fórmula p x^{p-1}.
  • Se p=-n com n\in\mathbb{N}, então y=x^{-n}=(1/x^{n}). Pode-se derivar usando a regra do quociente ou observar que a fórmula obtida no passo anterior continua válida (aplicando-a ao monômio x^{n} e usando a cadeia/álgebra dos expoentes). Por exemplo, para p=-1 obtém-se y'=-x^{-2}. Assim, para todo p\in\mathbb{Z} a fórmula y'=p x^{p-1} é válida em x\neq0.

Passo 5

Caso geral: p real ( p\in\mathbb{R}). Aqui é mais prático usar log-diferenciação (método muito útil em prova). Primeiro note que para escrever \ln x é necessário x>0. Para x>0 podemos reescrever
x^{p}=e^{p\ln x}.
Agora aplicamos a regra da cadeia e a derivada da exponencial: se u(x)=p\ln x então \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x). Calculamos u'(x):
u'(x)=p\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=p\cdot\frac{1}{x}.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x^{p}\bigr)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{p\ln x}\bigr)=e^{p\ln x}\cdot\frac{p}{x}.
Mas e^{p\ln x}=x^{p}, assim
\frac{d}{dx}\bigl(x^{p}\bigr)=x^{p}\cdot\frac{p}{x}=p\cdot x^{p-1}.
Exemplo para fixar: se p=\tfrac{1}{2} (raiz quadrada), obtemos \dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}, que é o que já se conhece.

Passo 6

Discussão de domínio e hipóteses (importante para prova):
  • Para p real não inteiro, a expressão x^{p} costuma ser definida naturalmente apenas para x>0 (quando usada a representação e^{p\ln x}). Então a dedução do passo 5 exige x>0.
  • Para p racional com denominador ímpar (por exemplo p=\tfrac{1}{3}), pode-se estender a definição de x^{p} a x<0 usando raízes ímpares e a fórmula da derivada continua válida onde a função estiver bem definida.
  • Para p\in\mathbb{Z} (inteiros), a fórmula vale para todo x (exceto x=0 quando p negativo), conforme explicado no passo 4.
    Resumo: a fórmula é válida sempre que x^{p} esteja bem definida e diferenciável no ponto considerado.

Passo 7

Resumo final didático: o resultado pode ser obtido pelo caminho mais direto (binomial) quando p é inteiro, e pelo caminho da exponencial + logaritmo (log-diferenciação e regra da cadeia) quando p é real. Em ambos os casos o termo dominante que sobrevive ao limite é o que dá o fator p e reduz o expoente em 1, produzindo a regra geral.

Resposta

y^{\prime}=p\cdot x^{p-1}

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