Considere o sistema
\begin{array}{r} -8 w+4 x+8 y+6 z=2 \\\\ -5 w-x-10 y-8 z=-7 \\\\ 8 w-10 x+2 y-6 z=-1 \\\\ -11 w-6 x+8 y+6 z=-4 \end{array}
resolva-o usando o método de Gauss-Jordan.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando o método de Gauss-Jordan, ou seja, encontrar os valores de w, x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente:
\begin{array}{r} -8 w+4 x+8 y+6 z=2 \\\\ -5 w-x-10 y-8 z=-7 \\\\ 8 w-10 x+2 y-6 z=-1 \\\\ -11 w-6 x+8 y+6 z=-4 \end{array}
Informações relevantes fornecidas:
\begin{cases} \text{Temos 4 equações lineares que envolvem as incógnitas }w,x,y,z.\\\ \text{O método exigido é Gauss-Jordan (transformar a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas).} \end{cases}çõóééé

Passo 2

Breve explicação didática do método (Gauss-Jordan) antes de aplicar:\n
  • Escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes). Isso organiza tudo para manipularmos linhas.
  • As operações permitidas (elementares) são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não-nula, e somar a um múltiplo de uma linha outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é obter a forma reduzida por linhas (reduced row echelon form): uma linha com pivot 1 em cada coluna de variável que corresponda a uma variável básica, zeros acima e abaixo desse pivot, e colunas com pivôs sendo a única entrada não nula na coluna. No final lemos as soluções diretamente.
  • Vou aplicar passo a passo, mostrando cada operação e contas auxiliares para você conseguir replicar na prova.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação; a última coluna é o termo independente):
\left[\begin{array}{cccc|c} -8 & 4 & 8 & 6 & 2 \\\\ -5 & -1 & -10 & -8 & -7 \\\\ 8 & -10 & 2 & -6 & -1 \\\\ -11 & -6 & 8 & 6 & -4 \end{array}\right]

Passo 4

Primeira etapa: escolher um pivot para a coluna w. Vou trocar a primeira linha com a terceira para obter um pivot fácil (pois a terceira linha tem coeficiente 8 na coluna w):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_3.
\left[\begin{array}{cccc|c} 8 & -10 & 2 & -6 & -1 \\\\ -5 & -1 & -10 & -8 & -7 \\\\ -8 & 4 & 8 & 6 & 2 \\\\ -11 & -6 & 8 & 6 & -4 \end{array}\right]

Passo 5

Tornar o pivot igual a 1 dividindo a nova linha 1 por 8: operação R_1 := \dfrac{1}{8}R_1. Isso facilita eliminar a coluna w nas outras linhas.
R_1 := \dfrac{1}{8}R_1 \Rightarrow \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -\dfrac{5}{4} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{8} \\\\ -5 & -1 & -10 & -8 & -7 \\\\ -8 & 4 & 8 & 6 & 2 \\\\ -11 & -6 & 8 & 6 & -4 \end{array}\right]
Explicação: agora a primeira coluna tem o pivô 1, vamos zerar abaixo dele.

Passo 6

Eliminar a coluna w nas linhas 2, 3 e 4 usando R_1:
  • R_2 := R_2 + 5R_1 (pois R_2 tem -5 em w);
  • R_3 := R_3 + 8R_1 (pois R_3 tem -8 em w);
  • R_4 := R_4 + 11R_1 (pois R_4 tem -11 em w).
Calculemos cada resultado (faço as contas detalhadas para você ver como proceder em prova):
Para R_2:
R_2 + 5R_1 = \left[-5,-1,-10,-8,-7\right]+5\left[1,-\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{4},-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{8}\right] = \left[0,-\tfrac{29}{4},-\tfrac{35}{4},-\tfrac{47}{4},-\tfrac{61}{8}\right].
Para R_3:
R_3 + 8R_1 = \left[-8,4,8,6,2\right]+8\left[1,-\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{4},-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{8}\right] = \left[0,-6,10,0,1\right].
Para R_4:
R_4 + 11R_1 = \left[-11,-6,8,6,-4\right]+11\left[1,-\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{4},-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{8}\right] = \left[0,-\tfrac{79}{4},\tfrac{43}{4},-\tfrac{9}{4},-\tfrac{43}{8}\right].
Nova matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -\dfrac{5}{4} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{8} \\\\ 0 & -\dfrac{29}{4} & -\dfrac{35}{4} & -\dfrac{47}{4} & -\dfrac{61}{8} \\\\ 0 & -6 & 10 & 0 & 1 \\\\ 0 & -\dfrac{79}{4} & \dfrac{43}{4} & -\dfrac{9}{4} & -\dfrac{43}{8} \end{array}\right]

Passo 7

Observação prática: a linha 3 tem coeficientes inteiros e um pivô na coluna x simples ( -6); é conveniente trocar a linha 2 com a linha 3 para trabalhar com números menores. Operação: R_2 \leftrightarrow R_3.
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -\dfrac{5}{4} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{8} \\\\ 0 & -6 & 10 & 0 & 1 \\\\ 0 & -\dfrac{29}{4} & -\dfrac{35}{4} & -\dfrac{47}{4} & -\dfrac{61}{8} \\\\ 0 & -\dfrac{79}{4} & \dfrac{43}{4} & -\dfrac{9}{4} & -\dfrac{43}{8} \end{array}\right]

Passo 8

Agora fazemos o pivô na linha 2, coluna x. Dividimos R_2 por -6 para obter o pivô 1:
R_2 := -\dfrac{1}{6}R_2 \Rightarrow R_2 = \left[0,1,-\dfrac{5}{3},0,-\dfrac{1}{6}\right].
Matriz:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & -\dfrac{5}{4} & \dfrac{1}{4} & -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{8} \\\\ 0 & 1 & -\dfrac{5}{3} & 0 & -\dfrac{1}{6} \\\\ 0 & -\dfrac{29}{4} & -\dfrac{35}{4} & -\dfrac{47}{4} & -\dfrac{61}{8} \\\\ 0 & -\dfrac{79}{4} & \dfrac{43}{4} & -\dfrac{9}{4} & -\dfrac{43}{8} \end{array}\right]

Passo 9

Eliminar a coluna x nas outras linhas (zerar os coeficientes acima e abaixo do pivô na coluna x):
  • R_1 := R_1 + \dfrac{5}{4}R_2 (anula -\tfrac{5}{4} em R_1);
  • R_3 := R_3 + \dfrac{29}{4}R_2 (anula -\tfrac{29}{4} em R_3);
  • R_4 := R_4 + \dfrac{79}{4}R_2 (anula -\tfrac{79}{4} em R_4).
Calculemos:
Para R_1:
R_1 + \tfrac{5}{4}R_2 = \left[1,-\tfrac{5}{4},\tfrac{1}{4},-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{8}\right] +\tfrac{5}{4}\left[0,1,-\tfrac{5}{3},0,-\tfrac{1}{6}\right] = \left[1,0,-\tfrac{11}{6},-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{3}\right].
Para R_3:
R_3 + \tfrac{29}{4}R_2 = \left[0,-\tfrac{29}{4},-\tfrac{35}{4},-\tfrac{47}{4},-\tfrac{61}{8}\right] +\tfrac{29}{4}\left[0,1,-\tfrac{5}{3},0,-\tfrac{1}{6}\right] = \left[0,0,-\tfrac{125}{6},-\tfrac{47}{4},-\tfrac{53}{6}\right].
Para R_4:
R_4 + \tfrac{79}{4}R_2 = \left[0,-\tfrac{79}{4},\tfrac{43}{4},-\tfrac{9}{4},-\tfrac{43}{8}\right] +\tfrac{79}{4}\left[0,1,-\tfrac{5}{3},0,-\tfrac{1}{6}\right] = \left[0,0,-\tfrac{133}{6},-\tfrac{9}{4},-\tfrac{26}{3}\right].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\dfrac{11}{6} & -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{3} \\\\ 0 & 1 & -\dfrac{5}{3} & 0 & -\dfrac{1}{6} \\\\ 0 & 0 & -\dfrac{125}{6} & -\dfrac{47}{4} & -\dfrac{53}{6} \\\\ 0 & 0 & -\dfrac{133}{6} & -\dfrac{9}{4} & -\dfrac{26}{3} \end{array}\right]

Passo 10

Agora trabalhamos a coluna y (terceira coluna). Tomamos a linha 3 como candidata ao próximo pivô; ela tem coeficiente -\dfrac{125}{6} na coluna y. Para obter pivot 1 divido R_3 por -\dfrac{125}{6}, isto é multiplico por -\dfrac{6}{125}:
R_3 := -\dfrac{6}{125}R_3 \Rightarrow R_3 = \left[0,0,1,\dfrac{141}{250},\dfrac{53}{125}\right].
(Detalhe das operações: -\dfrac{47}{4}\cdot\big(-\dfrac{6}{125}\big)=\dfrac{141}{250} e -\dfrac{53}{6}\cdot\big(-\dfrac{6}{125}\big)=\dfrac{53}{125}.)
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -\dfrac{11}{6} & -\dfrac{3}{4} & -\dfrac{1}{3} \\\\ 0 & 1 & -\dfrac{5}{3} & 0 & -\dfrac{1}{6} \\\\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{141}{250} & \dfrac{53}{125} \\\\ 0 & 0 & -\dfrac{133}{6} & -\dfrac{9}{4} & -\dfrac{26}{3} \end{array}\right]

Passo 11

Eliminamos a coluna y nas outras linhas (zerar coeficientes da coluna 3 em R_1, R_2, R_4):
  • R_1 := R_1 + \dfrac{11}{6}R_3 (anula -\tfrac{11}{6} em R_1);
  • R_2 := R_2 + \dfrac{5}{3}R_3 (anula -\tfrac{5}{3} em R_2);
  • R_4 := R_4 + \dfrac{133}{6}R_3 (anula -\tfrac{133}{6} em R_4).
Façamos as contas:
Para R_1:
R_1 + \tfrac{11}{6}R_3 = \left[1,0,-\tfrac{11}{6},-\tfrac{3}{4},-\tfrac{1}{3}\right] +\tfrac{11}{6}\left[0,0,1,\tfrac{141}{250},\tfrac{53}{125}\right] = \left[1,0,0,\tfrac{71}{250},\tfrac{111}{250}\right].
(Detalhe: -\tfrac{3}{4} + \tfrac{11}{6}\cdot\tfrac{141}{250} = \tfrac{71}{250}; -\tfrac{1}{3} + \tfrac{11}{6}\cdot\tfrac{53}{125} = \tfrac{111}{250}.)
Para R_2:
R_2 + \tfrac{5}{3}R_3 = \left[0,1,-\tfrac{5}{3},0,-\tfrac{1}{6}\right] +\tfrac{5}{3}\left[0,0,1,\tfrac{141}{250},\tfrac{53}{125}\right] = \left[0,1,0,\tfrac{47}{50},\tfrac{27}{50}\right].
Para R_4:
R_4 + \tfrac{133}{6}R_3 = \left[0,0,-\tfrac{133}{6},-\tfrac{9}{4},-\tfrac{26}{3}\right] +\tfrac{133}{6}\left[0,0,1,\tfrac{141}{250},\tfrac{53}{125}\right] = \left[0,0,0,\tfrac{15378}{1500},\tfrac{549}{750}\right].
Observe que \dfrac{15378}{1500}=\dfrac{2563}{250} e \dfrac{549}{750}=\dfrac{183}{250} (simplificando frações).
A matriz passa a ser:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & \dfrac{71}{250} & \dfrac{111}{250} \\\\ 0 & 1 & 0 & \dfrac{47}{50} & \dfrac{27}{50} \\\\ 0 & 0 & 1 & \dfrac{141}{250} & \dfrac{53}{125} \\\\ 0 & 0 & 0 & \dfrac{2563}{250} & \dfrac{183}{250} \end{array}\right]

Passo 12

Por fim, pivot na coluna z (quarta coluna): a linha 4 tem coeficiente \dfrac{2563}{250}. Tornamos esse pivot igual a 1 dividindo R_4 por \dfrac{2563}{250}, ou multiplicando por \dfrac{250}{2563}:
R_4 := \dfrac{250}{2563}R_4 \Rightarrow R_4 = \left[0,0,0,1,\dfrac{183}{2563}\right].
Então z = \dfrac{183}{2563}.

Passo 13

Agora zeramos a coluna z nas linhas 1, 2 e 3 usando R_4 (Gauss-Jordan faz eliminação acima e abaixo dos pivôs para obter forma reduzida):
  • R_1 := R_1 - \dfrac{71}{250}R_4,
  • R_2 := R_2 - \dfrac{47}{50}R_4,
  • R_3 := R_3 - \dfrac{141}{250}R_4.
Fazendo as contas com atenção (faço as simplificações que aparecem naturalmente):
Para R_1 (teremos a linha com w isolado):
\text{RHS de }R_1:\quad \dfrac{111}{250}-\dfrac{71}{250}\cdot\dfrac{183}{2563} = \dfrac{284493-12993}{250\cdot2563} = \dfrac{271500}{250\cdot2563} = \dfrac{1086}{2563}.
Logo R_1 = [1,0,0,0,\tfrac{1086}{2563}], o que nos dá w=\dfrac{1086}{2563}.
Para R_2:
\text{RHS de }R_2:\quad \dfrac{27}{50}-\dfrac{47}{50}\cdot\dfrac{183}{2563} = \dfrac{69201-8601}{50\cdot2563} = \dfrac{60600}{50\cdot2563} = \dfrac{1212}{2563}.
Logo R_2 = [0,1,0,0,\tfrac{1212}{2563}], então x=\dfrac{1212}{2563}.
Para R_3:
\text{RHS de }R_3:\quad \dfrac{53}{125}-\dfrac{141}{250}\cdot\dfrac{183}{2563} = \dfrac{271678-25803}{250\cdot2563} = \dfrac{245875}{250\cdot2563} = \dfrac{1967}{5126}.
Logo R_3 = [0,0,1,0,\tfrac{1967}{5126}], então y=\dfrac{1967}{5126}.
A matriz final em forma reduzida por linhas é:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & \dfrac{1086}{2563} \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \dfrac{1212}{2563} \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \dfrac{1967}{5126} \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & \dfrac{183}{2563} \end{array}\right]

Resposta

\displaystyle w=\frac{1086}{2563}
\displaystyle x=\frac{1212}{2563}
\displaystyle y=\frac{1967}{5126}
\displaystyle z=\frac{183}{2563}

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