O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando o método de Gauss-Jordan, ou seja, encontrar os valores de w, x, y e z que satisfazem todas as equações simultaneamente:
\begin{cases} \text{Temos 4 equações lineares que envolvem as incógnitas }w,x,y,z.\\\ \text{O método exigido é Gauss-Jordan (transformar a matriz aumentada até a forma reduzida por linhas).} \end{cases}
Passo 2
Breve explicação didática do método (Gauss-Jordan) antes de aplicar:\n
Escrevemos a matriz aumentada do sistema (coeficientes e termos independentes). Isso organiza tudo para manipularmos linhas.
As operações permitidas (elementares) são: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por uma constante não-nula, e somar a um múltiplo de uma linha outra linha. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo é obter a forma reduzida por linhas (reduced row echelon form): uma linha com pivot 1 em cada coluna de variável que corresponda a uma variável básica, zeros acima e abaixo desse pivot, e colunas com pivôs sendo a única entrada não nula na coluna. No final lemos as soluções diretamente.
Vou aplicar passo a passo, mostrando cada operação e contas auxiliares para você conseguir replicar na prova.
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada do sistema (cada linha corresponde a uma equação; a última coluna é o termo independente):
Primeira etapa: escolher um pivot para a coluna w. Vou trocar a primeira linha com a terceira para obter um pivot fácil (pois a terceira linha tem coeficiente 8 na coluna w):
Operação: R_1 \leftrightarrow R_3.
Observação prática: a linha 3 tem coeficientes inteiros e um pivô na coluna x simples (-6); é conveniente trocar a linha 2 com a linha 3 para trabalhar com números menores. Operação: R_2 \leftrightarrow R_3.
Agora trabalhamos a coluna y (terceira coluna). Tomamos a linha 3 como candidata ao próximo pivô; ela tem coeficiente -\dfrac{125}{6} na coluna y. Para obter pivot 1 divido R_3 por -\dfrac{125}{6}, isto é multiplico por -\dfrac{6}{125}:
Por fim, pivot na coluna z (quarta coluna): a linha 4 tem coeficiente \dfrac{2563}{250}. Tornamos esse pivot igual a 1 dividindo R_4 por \dfrac{2563}{250}, ou multiplicando por \dfrac{250}{2563}: