Resolva o seguinte sistema linear usando o Método de Gauss com Pivotamento Diagonal:
\begin{aligned} & 1 x-2 y+3 z=4 \\\ & 4 x+5 y-6 z=7 \\\ & 7 x-8 y+9 z=10 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear abaixo e pede para encontrarmos as incógnitas x, y e z:
\begin{aligned} & 1x - 2y + 3z = 4 \\\ & 4x + 5y - 6z = 7 \\\ & 7x - 8y + 9z = 10 \end{aligned}
Informações relevantes que temos:
\text{Equações: } \begin{cases} x - 2y + 3z = 4,\\[4pt] 4x + 5y - 6z = 7,\\[4pt] 7x - 8y + 9z = 10. \end{cases}çõ
O objetivo é aplicar o Método de Gauss com pivotamento diagonal (ou seja, em cada etapa colocar na posição de pivot a entrada da diagonal escolhida — geralmente trocando linhas para que o pivot seja o elemento de maior módulo na coluna entre as linhas restantes — e então eliminar abaixo).]

Passo 2

Vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada reúne os coeficientes e o termo independente numa só tabela; é útil para aplicar operações de linha.
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 3 & 4\\[4pt] 4 & 5 & -6 & 7\\[4pt] 7 & -8 & 9 & 10 \end{array}\right]
Explicando: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a coluna após a barra vertical é o lado direito (constantes).]

Passo 3

Pivotamento diagonal — passo 1 (coluna 1):
  • Olhamos a coluna 1 (coeficientes de x) nas linhas 1 a 3: \,1,\;4,\;7.)
  • O maior em valor absoluto é \,7 (que está na linha 3). Para ter esse maior número no pivot (1,1) trocamos a linha 1 com a linha 3:
    Operação: R_1 \leftrightarrow R_3.
    Após a troca:
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & -8 & 9 & 10\\[4pt] 4 & 5 & -6 & 7\\[4pt] 1 & -2 & 3 & 4 \end{array}\right]
Comentário didático: trocar linhas não altera a solução do sistema; fazemos isso para reduzir erros numéricos e obter um bom pivot.]

Passo 4

Eliminação na coluna 1 (zerar as entradas abaixo do pivot 7):
  • Para zerar o elemento na linha 2, coluna 1 usamos: R_2 \leftarrow R_2 - \dfrac{4}{7}R_1.
  • Para zerar o elemento na linha 3, coluna 1 usamos: R_3 \leftarrow R_3 - \dfrac{1}{7}R_1.
Calculemos passo a passo:
Para R_2:
R_2 - \frac{4}{7}R_1:
\begin{aligned} &4 - \frac{4}{7}\cdot 7 = 4-4=0,\\[4pt] &5 - \frac{4}{7}\cdot(-8)=5 + \frac{32}{7}=\frac{35+32}{7}=\frac{67}{7},\\[4pt] &-6 - \frac{4}{7}\cdot 9 = -6 - \frac{36}{7} = \frac{-42-36}{7}=\frac{-78}{7},\\[4pt] &7 - \frac{4}{7}\cdot 10 = 7 - \frac{40}{7} = \frac{49-40}{7}=\frac{9}{7}. \end{aligned}
Para R_3:
R_3 - \frac{1}{7}R_1:
\begin{aligned} &1 - \frac{1}{7}\cdot 7 = 1-1=0,\\[4pt] &-2 - \frac{1}{7}\cdot(-8) = -2 + \frac{8}{7} = \frac{-14+8}{7}=\frac{-6}{7},\\[4pt] &3 - \frac{1}{7}\cdot 9 = 3 - \frac{9}{7} = \frac{21-9}{7}=\frac{12}{7},\\[4pt] &4 - \frac{1}{7}\cdot 10 = 4 - \frac{10}{7} = \frac{28-10}{7}=\frac{18}{7}. \end{aligned}
Assim a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & -8 & 9 & 10\\[4pt] 0 & \dfrac{67}{7} & -\dfrac{78}{7} & \dfrac{9}{7}\\[6pt] 0 & -\dfrac{6}{7} & \dfrac{12}{7} & \dfrac{18}{7} \end{array}\right]
Para simplificar os números e facilitar os cálculos seguintes, podemos multiplicar as linhas 2 e 3 por 7 (operação válida: escala a linha por um escalar não nulo e mantém o conjunto solução). Fazemos:
R_2 \leftarrow 7R_2 e R_3 \leftarrow 7R_3. Depois disso obtemos:
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & -8 & 9 & 10\\[4pt] 0 & 67 & -78 & 9\\[4pt] 0 & -6 & 12 & 18 \end{array}\right]
Explicação: agora todos os coeficientes são inteiros, o que facilita os cálculos manuais.]

Passo 5

Pivotamento diagonal — passo 2 (coluna 2):
  • Olhamos a coluna 2 nas linhas 2 e 3: \,67,\;-6. O maior em módulo é \,67, que já está na posição diagonal (2,2). Portanto não trocamos linhas.
    Agora eliminamos o elemento abaixo do pivot 67: zerar entrada em (3,2).
    Multiplicador: m = \dfrac{-6}{67}.
    Operação: R_3 \leftarrow R_3 - m R_2 = R_3 - \left(\dfrac{-6}{67}\right)R_2 = R_3 + \dfrac{6}{67}R_2.
Calculemos:
  • Coluna 2: -6 + \dfrac{6}{67}\cdot 67 = -6 + 6 = 0 (como desejado).
  • Coluna 3:
12 + \frac{6}{67}\cdot(-78) = 12 - \frac{468}{67} = \frac{12\cdot 67 - 468}{67} = \frac{804 - 468}{67} = \frac{336}{67}.
  • Termo independente (coluna direita):
18 + \frac{6}{67}\cdot 9 = 18 + \frac{54}{67} = \frac{18\cdot 67 + 54}{67} = \frac{1206 + 54}{67} = \frac{1260}{67}.
Assim a matriz triangular superior fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 7 & -8 & 9 & 10\\[4pt] 0 & 67 & -78 & 9\\[6pt] 0 & 0 & \dfrac{336}{67} & \dfrac{1260}{67} \end{array}\right]
Agora podemos resolver a última equação (terceira linha) para z por substituição direta: a terceira linha corresponde a
\frac{336}{67}\,z = \frac{1260}{67}.
Dividindo ambos os lados por \dfrac{336}{67} (ou multiplicando por seu recíproco), obtemos:
z = \frac{\dfrac{1260}{67}}{\dfrac{336}{67}} = \frac{1260}{336}.
Simplificando \dfrac{1260}{336}: ambos os números têm 84 como divisor comum, dando \dfrac{1260}{336}=\dfrac{15}{4}.
Portanto
z = \frac{15}{4}.]

Passo 6

Substituição regressiva (back substitution) para achar y e x.
Usamos a segunda linha (após escala): 0\cdot x + 67y -78z = 9. Então
67y - 78z = 9 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{9 + 78z}{67}.
Substituindo z = \dfrac{15}{4}:
78z = 78\cdot \frac{15}{4} = \frac{78\cdot 15}{4} = \frac{1170}{4} = \frac{585}{2}.
Então
y = \frac{9 + \dfrac{585}{2}}{67} = \frac{\dfrac{18}{2} + \dfrac{585}{2}}{67} = \frac{\dfrac{603}{2}}{67} = \frac{603}{2\cdot 67}.
Observe que 603 = 9\cdot 67, logo
y = \frac{9\cdot 67}{2\cdot 67} = \frac{9}{2}.
Portanto
y = \frac{9}{2}.
Agora usamos a primeira linha (após a primeira troca): 7x - 8y + 9z = 10. Então
7x = 10 + 8y - 9z.
Substituindo y = \dfrac{9}{2} e z = \dfrac{15}{4}:
8y = 8\cdot \frac{9}{2} = 36,\qquad 9z = 9\cdot \frac{15}{4} = \frac{135}{4}.
Então
7x = 10 + 36 - \frac{135}{4} = 46 - \frac{135}{4} = \frac{184}{4} - \frac{135}{4} = \frac{49}{4}.
Dividindo por 7:
x = \frac{\tfrac{49}{4}}{7} = \frac{49}{4}\cdot\frac{1}{7} = \frac{49}{28} = \frac{7}{4}.
Portanto encontramos:
x = \frac{7}{4},\qquad y = \frac{9}{2},\qquad z = \frac{15}{4}.

Resposta

x=\dfrac{7}{4}
y=\dfrac{9}{2}
z=\dfrac{15}{4}

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