O objetivo é aplicar o Método de Gauss com pivotamento diagonal (ou seja, em cada etapa colocar na posição de pivot a entrada da diagonal escolhida — geralmente trocando linhas para que o pivot seja o elemento de maior módulo na coluna entre as linhas restantes — e então eliminar abaixo).]
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada reúne os coeficientes e o termo independente numa só tabela; é útil para aplicar operações de linha.
Explicando: cada linha corresponde a uma equação; as três primeiras colunas são os coeficientes de x,y,z e a coluna após a barra vertical é o lado direito (constantes).]
Passo 3
Pivotamento diagonal — passo 1 (coluna 1):
Olhamos a coluna 1 (coeficientes de x) nas linhas 1 a 3: \,1,\;4,\;7.)
O maior em valor absoluto é \,7 (que está na linha 3). Para ter esse maior número no pivot (1,1) trocamos a linha 1 com a linha 3:
Operação: R_1 \leftrightarrow R_3.
Após a troca:
Para simplificar os números e facilitar os cálculos seguintes, podemos multiplicar as linhas 2 e 3 por 7 (operação válida: escala a linha por um escalar não nulo e mantém o conjunto solução). Fazemos: R_2 \leftarrow 7R_2 e R_3 \leftarrow 7R_3. Depois disso obtemos:
Explicação: agora todos os coeficientes são inteiros, o que facilita os cálculos manuais.]
Passo 5
Pivotamento diagonal — passo 2 (coluna 2):
Olhamos a coluna 2 nas linhas 2 e 3: \,67,\;-6. O maior em módulo é \,67, que já está na posição diagonal (2,2). Portanto não trocamos linhas.
Agora eliminamos o elemento abaixo do pivot 67: zerar entrada em (3,2).
Multiplicador: m = \dfrac{-6}{67}.
Operação: R_3 \leftarrow R_3 - m R_2 = R_3 - \left(\dfrac{-6}{67}\right)R_2 = R_3 + \dfrac{6}{67}R_2.