Resolva o seguinte sistema linear usando o Método de Gauss com Pivotamento Diagonal:
\begin{aligned} 2 x-3 y+4 z & =10 \\\\ 5 x+6 y-7 z & =28 \\\\ 8 x-9 y+10 z & =38 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado fornece um sistema de três equações lineares com três incógnitas e pede para encontrar x, y e z. As equações dadas são:
\begin{aligned} 2x-3y+4z&=10,\\[4pt] 5x+6y-7z&=28,\\[4pt] 8x-9y+10z&=38.
Portanto: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem simultaneamente essas três equações.]

Passo 2

Explico aqui, de forma prática e direta, o método que vou usar (Gauss com pivotamento diagonal) e as fórmulas que empregaremos — para você entender como aplicar isso na prova.
  • Representamos o sistema como matriz aumentada (linhas = equações, colunas = coeficientes e coluna a direita = termos independentes).
  • Em cada etapa i (indo da primeira linha até a penúltima) escolhemos como pivô o maior elemento em valor absoluto da coluna i entre as linhas i até n. Se esse maior elemento não está na linha i, trocamos linhas (isso é o pivotamento diagonal/ parcial). A ideia é evitar divisões por números muito pequenos e melhorar estabilidade.
  • Para zerar as entradas abaixo do pivô usamos multiplicadores. Se a_{ii} é o pivô e a_{kj} é um elemento na linha k>i, o multiplicador para zerar a entrada da linha k na coluna i é
m_{k i}=\frac{a_{k i}}{a_{i i}}.
Então fazemos a operação linha:
\text{Linha}_k := \text{Linha}_k - m_{k i}\cdot \text{Linha}_i.
  • Repetimos até obter uma matriz triangular superior; então resolvemos por substituição regressiva (back substitution).
Agora aplicamos isso passo a passo no sistema.

Passo 3

Escrevo a matriz aumentada inicial (coeficientes e termos independentes):
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 4 & 10\\[4pt] 5 & 6 & -7 & 28\\[4pt] 8 & -9 & 10 & 38 \end{array}\right].]

Passo 4

Primeiro passo de pivotamento (coluna 1). Olho os valores absolutos da coluna 1 nas linhas 1 a 3: |2|=2, |5|=5, |8|=8. O maior é 8 (linha 3), portanto troco a linha 1 com a linha 3 para colocar esse maior valor na diagonal (pivotamento).
Após a troca R_1\leftrightarrow R_3 a matriz fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & -9 & 10 & 38\\[4pt] 5 & 6 & -7 & 28\\[4pt] 2 & -3 & 4 & 10 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora vou zerar as entradas abaixo do pivô na coluna 1 (usar 8 como pivô).
Multiplicadores:
m_{21}=\frac{5}{8},\qquad m_{31}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.
Aplico R_2 := R_2 - m_{21}R_1:
  • Coordenada (2,2): 6 - \frac{5}{8}(-9)=6+\frac{45}{8}=\frac{48+45}{8}=\frac{93}{8}.
  • Coordenada (2,3): -7 - \frac{5}{8}\cdot 10=-7-\frac{50}{8}=-\frac{106}{8}=-\frac{53}{4}.
  • Termo independente linha 2: 28 - \frac{5}{8}\cdot 38=28-\frac{190}{8}=28-\frac{95}{4}=\frac{112-95}{4}=\frac{17}{4}.
Aplico R_3 := R_3 - m_{31}R_1 com m_{31}=\tfrac{1}{4}:
  • Coordenada (3,2): -3 - \tfrac{1}{4}(-9)=-3+ \tfrac{9}{4}=-\tfrac{12}{4}+\tfrac{9}{4}=-\tfrac{3}{4}.
  • Coordenada (3,3): 4 - \tfrac{1}{4}\cdot 10=4- \tfrac{10}{4}=4- \tfrac{5}{2}=\tfrac{8-5}{2}=\tfrac{3}{2}.
  • Termo independente linha 3: 10 - \tfrac{1}{4}\cdot 38=10-9,5=\tfrac{1}{2}. (racionalmente: 10-\tfrac{38}{4}=\tfrac{40-38}{4}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.)
A matriz após essas operações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & -9 & 10 & 38\\[4pt] 0 & \tfrac{93}{8} & -\tfrac{53}{4} & \tfrac{17}{4}\\[6pt] 0 & -\tfrac{3}{4} & \tfrac{3}{2} & \tfrac{1}{2} \end{array}\right].]

Passo 6

Agora pivotamento na coluna 2 (entre as linhas 2 e 3). Comparo os módulos dos candidatos à diagonal:
\left|\tfrac{93}{8}\right|=\tfrac{93}{8}\approx 11{,}625,\qquad \left|-\tfrac{3}{4}\right|=\tfrac{3}{4}=0{,}75.
O maior em valor absoluto é \tfrac{93}{8} (já está na linha 2), então não trocamos linhas. O pivô na segunda etapa é \tfrac{93}{8}.

Passo 7

Zerar a entrada (3,2) usando o pivô \tfrac{93}{8}.
O multiplicador é
m_{32}=\frac{(-\tfrac{3}{4})}{\tfrac{93}{8}} = -\frac{3}{4}\cdot \frac{8}{93} = -\frac{24}{372} = -\frac{2}{31}.
Faço R_3 := R_3 - m_{32}R_2. Note que m_{32} já é negativo, então R_3 - m_{32}R_2 = R_3 + \tfrac{2}{31}R_2.
Calculo cada entrada da nova linha 3:
  • Coluna 3:
\text{novo }a_{33}=\tfrac{3}{2} - m_{32}\left(-\tfrac{53}{4}\right) = \tfrac{3}{2} -\left(-\tfrac{2}{31}\right)\left(-\tfrac{53}{4}\right) = \tfrac{3}{2} - \frac{53}{62}
porque (-\tfrac{2}{31})(-\tfrac{53}{4})=\tfrac{106}{124}=\tfrac{53}{62}.
Agora \tfrac{3}{2}=\tfrac{93}{62}, então
\text{novo }a_{33}=\tfrac{93}{62}-\tfrac{53}{62}=\tfrac{40}{62}=\tfrac{20}{31}.
  • Termo independente linha 3:
\text{novo }b_3=\tfrac{1}{2} - m_{32}\cdot \tfrac{17}{4} = \tfrac{1}{2} -\left(-\tfrac{2}{31}\right)\cdot \tfrac{17}{4} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{34}{124} = \tfrac{1}{2} + \tfrac{17}{62}.
Como \tfrac{1}{2}=\tfrac{31}{62}, temos
\text{novo }b_3=\tfrac{31}{62}+\tfrac{17}{62}=\tfrac{48}{62}=\tfrac{24}{31}.
A matriz triangular superior resultante é:
\left[\begin{array}{ccc|c} 8 & -9 & 10 & 38\\[4pt] 0 & \tfrac{93}{8} & -\tfrac{53}{4} & \tfrac{17}{4}\\[6pt] 0 & 0 & \tfrac{20}{31} & \tfrac{24}{31} \end{array}\right].]

Passo 8

Agora faço a substituição regressiva (back substitution) para obter z, y e x.
Da linha 3 (última linha), temos:
\tfrac{20}{31}\,z=\tfrac{24}{31}.
Multiplicando ambos os lados por 31 e dividindo por 20:
20z=24 \quad\Rightarrow\quad z=\frac{24}{20}=\frac{6}{5}.

Passo 9

Substituo z=\tfrac{6}{5} na equação da linha 2:
\tfrac{93}{8}\,y - \tfrac{53}{4}\,z = \tfrac{17}{4}.
Substituindo z:
\tfrac{93}{8}\,y - \tfrac{53}{4}\cdot \tfrac{6}{5} = \tfrac{17}{4}.
Calculo o termo com z:
\tfrac{53}{4}\cdot \tfrac{6}{5}=\tfrac{318}{20}=\tfrac{159}{10}.
Então
\tfrac{93}{8}\,y = \tfrac{17}{4} + \tfrac{159}{10}.
Coloco em denominar comum 20:
\tfrac{17}{4}=\tfrac{85}{20},\qquad \tfrac{159}{10}=\tfrac{318}{20},
logo
\tfrac{93}{8}\,y=\tfrac{85+318}{20}=\tfrac{403}{20}.
Logo
y=\frac{\tfrac{403}{20}}{\tfrac{93}{8}}=\frac{403}{20}\cdot\frac{8}{93}=\frac{403\cdot 8}{20\cdot 93}.
Simplificando 8/20=2/5:
y=\frac{403\cdot 2}{5\cdot 93}=\frac{806}{465}.
Dividindo numerador e denominador por 31 (pois 806=31\cdot26 e 465=31\cdot15):
y=\frac{26}{15}.

Passo 10

Finalmente substituo y=\tfrac{26}{15} e z=\tfrac{6}{5} na primeira equação (linha 1):
8x -9y +10z = 38.
Substituindo:
8x -9\cdot \tfrac{26}{15} + 10\cdot \tfrac{6}{5} = 38.
Calculo os termos:
-9\cdot \tfrac{26}{15} = -\tfrac{234}{15} = -\tfrac{78}{5}, \qquad 10\cdot \tfrac{6}{5}=12.
Então
8x -\tfrac{78}{5} +12 = 38.
Como 12=\tfrac{60}{5}, temos \tfrac{60}{5}-\tfrac{78}{5}=-\tfrac{18}{5}, então
8x - \tfrac{18}{5} = 38 \quad\Rightarrow\quad 8x = 38 + \tfrac{18}{5} = \tfrac{190}{5}+\tfrac{18}{5}=\tfrac{208}{5}.
Logo
x=\frac{\tfrac{208}{5}}{8}=\frac{208}{5}\cdot\frac{1}{8}=\frac{208}{40}=\frac{26}{5}.

Resposta

\displaystyle x=\frac{26}{5} \n
\displaystyle y=\frac{26}{15} \n
\displaystyle z=\frac{6}{5}

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