Escolha do método: vou usar eliminação por operações elementares sobre linhas (método da matriz aumentada). Motivo: é um método direto, básico e prático à mão para sistemas 3\times3; transforma o sistema numa forma triangular que permite encontrar as incógnitas por substituição regressiva. Se você não conhece bem, vou explicar cada operação e por que ela é válida.
Breve aula sobre a ideia (sem jargões):
Escrevemos o sistema como uma matriz aumentada \left[A\mid b\right], onde A é a matriz dos coeficientes e b é o vetor do lado direito.
Podemos aplicar três tipos de operações nas linhas sem alterar o conjunto de soluções: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, e somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
Usamos essas operações para zerar entradas abaixo do pivô (começando pela primeira coluna, depois segunda, etc.), obtendo uma matriz triangular superior. Depois obtemos as incógnitas a partir da última equação para cima (substituição regressiva).
Cada linha representa uma equação; a primeira coluna é os coeficientes de x_{1}, a segunda de x_{2}, a terceira de x_{3} e a coluna após a barra é o lado direito.]
Passo 4
Objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô na primeira coluna (usar a primeira linha como pivô, que tem coeficiente 1 em x_{1}). Aplicamos as operações:
Agora queremos zerar a entrada abaixo do pivô da segunda coluna. O pivô na segunda linha é 3 (coeficiente de x_{2} na segunda linha). Para zerar a entrada -3 da terceira linha fazemos:
(Alternativamente: dividir -\tfrac{1}{3} por 3 dá -\tfrac{1}{9}.)
Passo 8
Finalmente usamos a primeira equação para encontrar x_{1}. A primeira linha é x_{1}+x_{2}+4x_{3}=1. Substituímos x_{2}=-\dfrac{1}{9} e x_{3}=\dfrac{2}{9}:
x_{1}-\frac{1}{9}+4\cdot\frac{2}{9}=1.
Calculamos 4\cdot\frac{2}{9}=\frac{8}{9}. Então
x_{1}-\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1.
x_{1}+\frac{7}{9}=1.
Como 1=\dfrac{9}{9}, então
x_{1}=\frac{9}{9}-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}.
Passo 9
Verificação rápida (checar uma equação para ter certeza): use a segunda equação x_{1}+4x_{2}+x_{3}.
Substituindo \dfrac{2}{9}+4\cdot\left(-\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{9}-\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{9}=0, que coincide com o lado direito da segunda equação, então está consistente.