Resolva o sistema linear:
\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 4 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 4 & 1 & 1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema linear (matriz dos coeficientes multiplicando o vetor das incógnitas igual ao vetor do lado direito):
\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 4 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ 4 & 1 & 1 \end{array}\right] \left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right] = \left[\begin{array}{l} 1 \\\\ 0 \\\\ 1 \end{array}\right]
Pergunta: encontrar os valores de x_{1}, x_{2} e x_{3} que satisfazem esse sistema.
Informações relevantes fornecidas:
\begin{cases} x_{1}+x_{2}+4x_{3}=1,\\[4pt] x_{1}+4x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] 4x_{1}+x_{2}+x_{3}=1. \end{cases}]

Passo 2

Escolha do método: vou usar eliminação por operações elementares sobre linhas (método da matriz aumentada). Motivo: é um método direto, básico e prático à mão para sistemas 3\times3; transforma o sistema numa forma triangular que permite encontrar as incógnitas por substituição regressiva. Se você não conhece bem, vou explicar cada operação e por que ela é válida.
Breve aula sobre a ideia (sem jargões):
  • Escrevemos o sistema como uma matriz aumentada \left[A\mid b\right], onde A é a matriz dos coeficientes e b é o vetor do lado direito.
  • Podemos aplicar três tipos de operações nas linhas sem alterar o conjunto de soluções: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, e somar a uma linha um múltiplo de outra linha.
  • Usamos essas operações para zerar entradas abaixo do pivô (começando pela primeira coluna, depois segunda, etc.), obtendo uma matriz triangular superior. Depois obtemos as incógnitas a partir da última equação para cima (substituição regressiva).
Agora vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 1\\[4pt] 1 & 4 & 1 & 0\\[4pt] 4 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right]
Cada linha representa uma equação; a primeira coluna é os coeficientes de x_{1}, a segunda de x_{2}, a terceira de x_{3} e a coluna após a barra é o lado direito.]

Passo 4

Objetivo: zerar as entradas abaixo do pivô na primeira coluna (usar a primeira linha como pivô, que tem coeficiente 1 em x_{1}). Aplicamos as operações:
  • R_{2} \leftarrow R_{2} - R_{1}
  • R_{3} \leftarrow R_{3} - 4R_{1}
Calculando R_{2}-R_{1}:
R_{2}: \;(1,\,4,\,1\,|\,0) \quad-\quad R_{1}:\;(1,\,1,\,4\,|\,1)
R_{2}\leftarrow (1-1,\;4-1,\;1-4\;|\;0-1)=(0,\;3,\;-3\;|\;-1).
Calculando R_{3}-4R_{1}:
R_{3}: \;(4,\,1,\,1\,|\,1) \quad-\quad 4\cdot R_{1}:\;(4,\,4,\,16\,|\,4)
R_{3}\leftarrow (4-4,\;1-4,\;1-16\;|\;1-4)=(0,\;-3,\;-15\;|\;-3).
A matriz aumentada fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -3 & -1\\[4pt] 0 & -3 & -15 & -3 \end{array}\right]]

Passo 5

Agora queremos zerar a entrada abaixo do pivô da segunda coluna. O pivô na segunda linha é 3 (coeficiente de x_{2} na segunda linha). Para zerar a entrada -3 da terceira linha fazemos:
  • R_{3} \leftarrow R_{3} + R_{2} (porque -3 + 3 = 0)
Calculando:
R_{3} + R_{2} = (0,\;-3,\;-15\;|\;-3)\;+\;(0,\;3,\;-3\;|\;-1)=(0,\;0,\;-18\;|\;-4).
A matriz agora é triangular superior:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 4 & 1\\[4pt] 0 & 3 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 0 & -18 & -4 \end{array}\right]]

Passo 6

Interpretação das últimas linhas como equações:
  • A terceira linha corresponde a -18x_{3}=-4.
    Resolve-se isolando x_{3}:
-18x_{3}=-4 \quad\Longrightarrow\quad x_{3}=\frac{-4}{-18}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.
Expliquei a simplificação: dividimos numerador e denominador por 2: 4/18=(4\div2)/(18\div2)=2/9.

Passo 7

Usamos x_{3} na segunda linha. A segunda linha corresponde a 3x_{2}-3x_{3}=-1. Substituímos x_{3}=\dfrac{2}{9}:
3x_{2}-3\cdot\frac{2}{9}=-1.
Calculamos 3\cdot\frac{2}{9}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}. Logo
3x_{2}-\frac{2}{3}=-1.
Isolando x_{2}:
3x_{2}=-1+\frac{2}{3}=-\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}.
x_{2}=\frac{-\tfrac{1}{3}}{3}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=-\frac{1}{9}.
(Alternativamente: dividir -\tfrac{1}{3} por 3 -\tfrac{1}{9}.)

Passo 8

Finalmente usamos a primeira equação para encontrar x_{1}. A primeira linha é x_{1}+x_{2}+4x_{3}=1. Substituímos x_{2}=-\dfrac{1}{9} e x_{3}=\dfrac{2}{9}:
x_{1}-\frac{1}{9}+4\cdot\frac{2}{9}=1.
Calculamos 4\cdot\frac{2}{9}=\frac{8}{9}. Então
x_{1}-\frac{1}{9}+\frac{8}{9}=1.
x_{1}+\frac{7}{9}=1.
Como 1=\dfrac{9}{9}, então
x_{1}=\frac{9}{9}-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}.

Passo 9

Verificação rápida (checar uma equação para ter certeza): use a segunda equação x_{1}+4x_{2}+x_{3}.
Substituindo \dfrac{2}{9}+4\cdot\left(-\dfrac{1}{9}\right)+\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{9}-\dfrac{4}{9}+\dfrac{2}{9}=0, que coincide com o lado direito da segunda equação, então está consistente.

Resposta

\displaystyle x_{1}=\frac{2}{9}
\displaystyle x_{2}=-\frac{1}{9}
\displaystyle x_{3}=\frac{2}{9}

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