Uma corda uniforme, de 40 m de comprimento e massa de
, está esticada sob uma tensão de
.
a)
. Calcule a velocidade de propagação dessa onda.
b)
Qual é o comprimento de onda e a frequência dessa onda?
c)
Escreva a função de onda
que descreve essa onda.
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades abaixo.
Dados:
Perguntas:
- (a) Calcular a velocidade de propagação da onda na corda.
- (b) Determinar o comprimento de onda e a frequência dessa onda.
- (c) Escrever a função de onda
que descreve essa onda.
Passo 2
Primeiro, precisamos da densidade linear de massa da corda, que é a massa por unidade de comprimento. Isso é importante porque a velocidade de uma onda numa corda depende da massa por metro da corda.
Definição:
onde
é a densidade linear (unidade
),
é a massa da corda e
é o comprimento.
Calculando:
Explicação curta:
diz quanto de massa há em cada metro da corda; quanto maior
, mais difícil é acelerar a corda e mais lenta fica a onda.
Passo 3
Agora a velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensa é dada pela fórmula padrão
onde
é a tensão (em N) e
é a densidade linear (em
). Uma breve intuição: maior tensão puxa a corda e faz a onda andar mais rápido; maior massa por metro retarda a onda.
Substituindo os valores:
Calculando a raiz:
Passo 4
Para responder (b) precisamos decidir que modo / tipo de onda estamos descrevendo. Em cordas esticadas e com as extremidades presas (situação usualmente implícita em exercícios de corda esticada), as ondas estacionárias possíveis têm comprimentos de onda discretos dados por
onde
é o número do harmônico (modo). Se o enunciado não especifica qual harmônico, o jeito mais simples — e o que tipicamente se pede — é tomar o harmônico fundamental,
. Estou escolhendo o modo fundamental porque é o caso mais básico e provavelmente o que o exercício espera quando não há mais informação.
Para o fundamental (
):
A frequência associada a um comprimento de onda
e velocidade
é
Calculando:
Explicação curta: o comprimento de onda do modo fundamental é duas vezes o comprimento da corda porque a corda deve ter um nó em cada extremidade e exatamente um ventre no meio.
Passo 5
Para escrever a função de onda pedida em (c) usamos a forma de onda estacionária (pois consideramos extremidades fixas e o modo fundamental). A forma geral do modo estacionário
-ésimo é
onde
é a amplitude (não fornecida pelo enunciado),
é o número de onda e
é a frequência angular.
Para o fundamental (
):
Numérico:
A frequência angular é
. Usando
:
Logo a função de onda (modo fundamental, com amplitude
arbitrária) é
Comentário físico: essa função satisfaz
e
para todo
, como deve ocorrer em extremidades presas. Se o enunciado quisesse uma onda progressiva em vez de estacionária, a forma seria por exemplo
com os mesmos
e
.
Resposta
a)
b)
c)