(2,5) Uma corda uniforme, de 40 m de comprimento e massa de \mathbf{0 , 5 0 ~ k g}, está esticada sob uma tensão de \mathbf{1 0 0 ~ N}.
a) (0,5). Calcule a velocidade de propagação dessa onda.
b) (0,5) Qual é o comprimento de onda e a frequência dessa onda?
c) (1,5) Escreva a função de onda \boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}, t) que descreve essa onda.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as quantidades abaixo.
Dados:
L=40\\ \mathrm{m}
m=0,50\\ \mathrm{kg}
T=100\\ \mathrm{N}
Perguntas:
  1. (a) Calcular a velocidade de propagação da onda na corda.
  2. (b) Determinar o comprimento de onda e a frequência dessa onda.
  3. (c) Escrever a função de onda y(x,t) que descreve essa onda.

Passo 2

Primeiro, precisamos da densidade linear de massa da corda, que é a massa por unidade de comprimento. Isso é importante porque a velocidade de uma onda numa corda depende da massa por metro da corda.
Definição:
\mu=\frac{m}{L}
onde \mu é a densidade linear (unidade \mathrm{kg/m}), m é a massa da corda e L é o comprimento.
Calculando:
\mu=\frac{0,50}{40}=0,0125\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação curta: \mu diz quanto de massa há em cada metro da corda; quanto maior \mu, mais difícil é acelerar a corda e mais lenta fica a onda.

Passo 3

Agora a velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensa é dada pela fórmula padrão
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (em N) e \mu é a densidade linear (em \mathrm{kg/m}). Uma breve intuição: maior tensão puxa a corda e faz a onda andar mais rápido; maior massa por metro retarda a onda.
Substituindo os valores:
v=\sqrt{\frac{100}{0,0125}}=\sqrt{8000}.
Calculando a raiz:
\sqrt{8000}\approx 89,44\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para responder (b) precisamos decidir que modo / tipo de onda estamos descrevendo. Em cordas esticadas e com as extremidades presas (situação usualmente implícita em exercícios de corda esticada), as ondas estacionárias possíveis têm comprimentos de onda discretos dados por
\lambda_n=\frac{2L}{n},\quad n=1,2,3,\dots
onde n é o número do harmônico (modo). Se o enunciado não especifica qual harmônico, o jeito mais simples — e o que tipicamente se pede — é tomar o harmônico fundamental, n=1. Estou escolhendo o modo fundamental porque é o caso mais básico e provavelmente o que o exercício espera quando não há mais informação.
Para o fundamental ( n=1):
\lambda=\lambda_1=2L=2\cdot 40=80\\ \mathrm{m}.
A frequência associada a um comprimento de onda \lambda e velocidade v é
f=\frac{v}{\lambda}.
Calculando:
f=\frac{89,4427\ldots}{80}\approx 1,1180\\ \mathrm{Hz}\approx 1,12\\ \mathrm{Hz}.
Explicação curta: o comprimento de onda do modo fundamental é duas vezes o comprimento da corda porque a corda deve ter um nó em cada extremidade e exatamente um ventre no meio.

Passo 5

Para escrever a função de onda pedida em (c) usamos a forma de onda estacionária (pois consideramos extremidades fixas e o modo fundamental). A forma geral do modo estacionário n-ésimo é
y_n(x,t)=A\sin\left(\frac{n\pi}{L}x\right)\cos(\omega_n t),
onde A é a amplitude (não fornecida pelo enunciado), k_n=\dfrac{n\pi}{L} é o número de onda e \omega_n é a frequência angular.
Para o fundamental ( n=1):
k=\frac{\pi}{L}=\frac{\pi}{40}\\ \mathrm{rad/m}.
Numérico:
k\approx \frac{3,14159}{40}\approx 0,07854\\ \mathrm{rad/m}.
A frequência angular é \omega=2\pi f. Usando f\approx 1,1180\\ \mathrm{Hz}:
\omega=2\pi f\approx 2\pi\cdot 1,1180\approx 7,0248\\ \mathrm{rad/s}.
Logo a função de onda (modo fundamental, com amplitude A arbitrária) é
y(x,t)=A\sin\!\left(\frac{\pi}{40}x\right)\cos\!\left(7,0248\,t\right).
Comentário físico: essa função satisfaz y(0,t)=0 e y(L,t)=y(40,t)=0 para todo t, como deve ocorrer em extremidades presas. Se o enunciado quisesse uma onda progressiva em vez de estacionária, a forma seria por exemplo y(x,t)=A\sin(kx-\omega t) com os mesmos k e \omega.

Resposta

a) v\approx 89,44\\ \mathrm{m/s}
b) \lambda=80\\ \mathrm{m},\\ f\approx 1,12\\ \mathrm{Hz}
c) y(x,t)=A\sin\!\left(\dfrac{\pi}{40}x\right)\cos\!\left(7,0248\,t\right)

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